Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3828. feladat (2005. május)

B. 3828. Igaz-e, hogy ha egy négyszög oldalainak szorzata megegyezik a területének négyzetével, akkor a négyszögnek van legalább két derékszöge?

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Tekintsünk egy szimmetrikus trapézt, amelynek alapjai a és b, szárai pedig egységnyi hosszúak. A trapéz m magasságára a Pithagorasz tétel alapján

m^2=1^2-\Bigl({a\over 2}-{b\over 2}\Bigr)^2=1-{(a-b)^2\over 4}

adódik. Mivel a trapéz területének kétszerese 2T=(a+b)m, a T2=ab feltétel pontosan akkor teljesül, ha

(a+b)^2\Bigl(1-{(a-b)^2\over 4}\Bigr)=4ab,

(a+b)^2-4ab=(a+b)^2{(a-b)^2\over 4},

4(a-b)2=(a+b)2(a-b)2,

vagyis ha a=b, vagy pedig (a+b)2=4, a+b=2. Ha például a=3/2 és b=1/2, akkor létezik a szóban forgó trapéz, teljesül rá a feltétel, de egyetlen derékszöge sincsen. Az állítás tehát nyilván nem igaz.

Statisztika:

44 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Békéssy Herman András, Blázsik Zoltán, Cseh Ágnes, Dobos Gábor, Gehér György, Halász Veronika, Horváth 017 Zoltán, Károlyi Márton, Kiss-Tóth Christian, Komáromy Dani, Kónya 495 Gábor, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Lorántfy Bettina, Lovász László Miklós, Lukucz Balázs, Mátyás Péter, Nagy 235 János, Nagy 317 Péter, Strenner Balázs, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Ureczky Bálint, Zotter Zsuzsanna.
3 pontot kapott:Estélyi István, Gyenizse Gergő, Szegvári Gábor.
2 pontot kapott:6 versenyző.
1 pontot kapott:3 versenyző.
0 pontot kapott:2 versenyző.
Nem versenyszerű:2 dolgozat.

A KöMaL 2005. májusi matematika feladatai