A B. 3831. feladat (2005. május)

B. 3831. A ,,kockás'' papíron adott egy 2005 egység oldalhosszúságú négyzet, amelynek oldalai rácsegyenesek. Rajzoljunk a négyzetbe egy olyan önmagát át nem metsző zárt töröttvonalat, amelynek minden szakasza rácsegyenes mentén halad és az összes olyan rácsponton pontosan egyszer megy át, amelyik a négyzet belsejében vagy annak határán fekszik. Mutassuk meg, hogy a töröttvonal által határolt sokszög területe nagyobb, mint a négyzet területének fele.

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Ez a sokszög egy olyan rácssokszög, amelynek határára 2006² rácspont esik, belsejében pedig egy sincs. Ha egy rácssokszög belsejében b, határán pedig h rácspont van, akkor Pick tétele szerint a sokszög területe

Mivel pedig

az állítást ezennel bebizonyítottuk.

Statisztika:

59 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Békéssy Herman András, Dudás László, Eisenberger András, Farkas Ádám László, Fegyverneki Dániel, Fischer Richárd, Gehér György, Grósz Dániel, Gyenizse Gergő, Halász Veronika, Hujter Bálint, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kirilly György, Kisfaludi-Bak Sándor, Kiss-Tóth Christian, Komáromi István, Kónya 495 Gábor, Korándi Dániel, Kunovszki Péter, Kutas Péter, Lorántfy Bettina, Lovász László Miklós, Nagy 224 Csaba, Nagy 235 János, Paksy Patrik, Poronyi Balázs, Sommer Dániel, Strenner Balázs, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi Dániel, Tossenberger Anna, Tóth 796 Balázs, Tóthmérész Lilla, Ureczky Bálint.
4 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Cseh Ágnes, Dobos Gábor, Hannák Gábor, Kovács 111 Péter, Nagy 317 Péter, Szilágyi 987 Csaba.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.

A KöMaL 2005. májusi matematika feladatai