A B. 3832. feladat (2005. szeptember)

B. 3832. Az ABC derékszögű háromszög AB átfogójának tetszőleges pontja P, C-ből induló magasságának talppontja C₁. P vetülete az AC befogón A₁, a BC-n B₁.

a) Bizonyítsuk be, hogy a P, A₁, C, B₁, C₁ pontok egy körön vannak.

b) Bizonyítsuk be, hogy az A₁B₁C₁ és az ABC háromszögek hasonlók.

(3 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

Megoldás. (a) A pontok definíciója szerint a PA₁C, PB₁C, PC₁C szögek mind derékszögek. A Thálész tétel megfordítása szerint tehát az A₁, B₁, C₁ pontok a PC átmérőjű körön vannak. Mivel A₁CB₁=90^o, ennek a körnek A₁B₁ egy másik átmérője.

(b) Az ABC és CBC₁ derékszögű háromszögek szögeit összeszámolva kapjuk, hogy

BAC=90^o-ABC=BCC₁.

A CA₁C₁B₁ négszög, mint láttuk, húrnégyszög. A kerületi szögek tétele szerint például

B₁CC₁=B₁A₁C₁.

Tehát az ábrán pirossal jelölt szögek egyenlők.

Hasomlóan, az A és B, illetve A₁ é B₁ pontok szerepének felcserélésével kapjuk, hogy a kékkel jelölt szögek is egyenlők.

A C₁ pont rajta van az A₁B₁ átmérőjű körön, tehát A₁C₁B₁=90^o.

Az ABC és A₁B₁C₁ háromszögek megfelelő szögei megegyeznek, tehát a két háromszög hasonló.

Statisztika:

384 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	205 versenyző.
2 pontot kapott:	64 versenyző.
1 pontot kapott:	98 versenyző.
0 pontot kapott:	14 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai