 |
A B. 3833. feladat (2005. szeptember) |
B. 3833. Adottak az A, B, C és D pontok a síkban. Szerkesszünk olyan A-n és B-n átmenő kört, amelyhez C-ből és D-ből egyenlő hosszú érintők húzhatók.
(3 pont)
A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.
Megoldás. Jelölje O a keresett kör középpontját, r a sugarát. Pithagorasz tétele alapján az O ponttól d>r távolságra lévő pontból a körhöz húzott érintőszakasz hossza , vagyis az O pontnak rajta kell lenni mind az AB, mind a CD szakasz felezőmerőlegesén. Általános esetben ennek a két egyenesnek pontosan egy közös pontja van, ekkor a feladat megoldható (és egyetlen megoldása van) pontosan akkor, ha ettől a ponttól a C,D pontok távolabb esnek, mint A és B. Ha ellenben az AB és a CD szakaszok párhuzamosak egymással, akkor a két egyenesnek vagy egyáltalán nincs közös pontja (nincs megoldás), vagy a két egyenes egybeesik, mely esetben az A,C pontpárt a szóban forgó egyenesre tükrözve kapjuk a B,D pontpárt. Ez utolsó esetben végtelen sok megoldás létezik, ha vagy a négy pont egy trapéz csúcsait alkotja, vagy pedig ha egy egyenesre esnek és A,B a C,D pontok közé esik. Ha viszont a C,D pontok esnek az A,B pontok közé, akkor nyilván nem lesz megoldása a feladatnak. A megoldás során feltételeztük, hogy a négy adott pont különböző, azon esetek diszkutálását, amikor két pont egybeesik, az olvasóra bízzuk.
Statisztika:
321 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: Árvay Anna, Bartha Éva Lili, Bogár 560 Péter, C. Szabó Bence, Cséke Balázs, Cserép Gergely, Földes Imre, Fülöp Bálint, Grósz Dániel, Halász Máté, Horovitz Gábor, Huszár Enikő Anna, Kirilly György, Kiss 111 Viktor, Kiss 243 Réka, Korándi Dániel, Kovács 333 Veronika, Kovács 999 Krisztina, Kőkuti András, Kristóf Panna, Kriván Bálint, Kunovszki Péter, Lamm Éva, Lovász László Miklós, Lukácsi Nóra, Majoros Csilla, Majoros Péter, Müller Márk, Nagy 314 Dániel, Rácz Zsuzsa, Szakács Nóra, Szalóki Dávid, Szendrei Balázs, Szentandrási István, Szívós Eszter, Szűcs Alexandra, Ta Phuong Linh, Tóth 126 Tibor, Tóth 989 Beáta, Tóth Réka Judit, Tóthmérész Lilla, Urbin Ágnes, Váci Tibor, Varga 111 Péter, Varga 171 László, Varga 868 András, Veres 453 Judit, Weisz 111 István, Werner Miklós, Zöld Péter. 2 pontot kapott: 139 versenyző. 1 pontot kapott: 92 versenyző. 0 pontot kapott: 38 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai