A B. 3840. feladat (2005. szeptember)

B. 3840. Ismeretes, hogy egy tetraéder lapsíkjai 15 részre osztják a teret. E részek közül legfeljebb hányba metszhet bele egy egyenes?

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. október 17-én LEJÁRT.

Megoldás. Egy egyenes pontosan annyi részbe metsz bele, ahány részre azt a négy lapsík felosztja. Ezen részek száma eggyel nagyobb, mint a síkok által az egyenesen létrehozott metszéspontok száma, feltéve persze, hogy az egyenes egyik lapsíkban sincs benne, hiszen akkor egyetlen részbe sem metszhet bele. Mivel ekkor mindegyik sík legfeljebb egy pontban metszheti az egyenest, a szóban forgó részek száma legfeljebb 5. Ebből az is látszik, hogy pontosan akkor metsz bele az egyenes 5 különböző részbe, ha az egyes lapsíkok az egyenest különböző pontokban metszik, vagyis ha az egyenes nem párhuzamos egyik lapsíkkal sem, és nem metsz bele semelyik két lapsík metszésvonalába. Majdnem minden egyenes ilyen, egyet könnyen konstruálhatunk az alábbi módon. Legyen P az ABCD tetraáder BCD lapjának egy belső pontja. Az AB, AC egyenesek az ABC síkot 4 részre osztják. Az ABC háromszöget tartalmazó résszel szemközti részben válasszunk egy olyan Q pontot, amely nem illeszkedik az APD síkra. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy a PQ egyenes mind a négy síkot metszi, de nem metszi az AB,AC,AD,BC,BD,CD egyenesek egyikét sem.

Statisztika:

95 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Balogh Ádám, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Cseh Ágnes, Csorba János, Dombi Soma, Dudás László, Fehér Judit, Grósz Dániel, Herczegh Péter, Honner Balázs, Hülber Tímea, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kiss 243 Réka, Kornis Kristóf, Kótai Ádám, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Nagy 235 János, Nagy-Baló András, Németh 007 Zsolt, Nikházy László, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Radnai Ágnes, Salát Zsófia, Sümegi Károly, Szabó 307 István , Szakács Nóra, Szegvári Gábor, Szentandrási István, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szőke Nóra, Tóth 001 Bálint, Tóthmérész Lilla, Vidnyánszky Zoltán.
3 pontot kapott:	21 versenyző.
2 pontot kapott:	20 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2005. szeptemberi matematika feladatai