 |
A B. 3853. feladat (2005. november) |
B. 3853. Szerkesszünk adott háromszög területét felező, adott irányú egyenest.
(4 pont)
A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Világos, hogy a feladatnak mindig egy megoldása van. Húzzunk az adott iránnyal párhuzamos egyeneseket a háromszög csúcsain keresztül. A középső egyenes illeszkedjék a B csúcsra, és messe az AC oldalt a P pontban (elképzelhető, hogy ez egybeesik valamelyik csúccsal). Ha P az AC oldal felezőpontja, akkor készen vagyunk, egyébként pedig feltehetjük, hogy AP>CP. A szerkesztendő egyenes az AB szakaszt X, az AP szakaszt Y pontban metszi úgy, hogy AX.AY=AB.AC/2. A párhuzamos szelők tétele szerint AX/AY=AB/AP. Innen AX2=AB2AC/2AP. Ha a C csúcson áthaladó, BP-vel párhuzamos egyenes az AB félegyeneset a Q pontban metszi, akkor AQ/AC=AB/AP, vagyis AX2=(AB/2)AQ. Innen az AX szakasz hosszát a magasságtétel alapján így szerkeszthetjük meg. Egy egyenesen közös T kezdőpontból ellentétes irányba felmérjük az AB/2 és AQ szakaszokat. Az így nyert szakasz fölé Thalesz-kört rajzolunk. Ha az egyenesre T-ben állított merőleges a kört S-ben metszi, akkor TS2=(AB/2)AQ, vagyis TS=AX.
Statisztika:
100 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 59 versenyző. 3 pontot kapott: 15 versenyző. 2 pontot kapott: 12 versenyző. 1 pontot kapott: 9 versenyző. 0 pontot kapott: 5 versenyző.
A KöMaL 2005. novemberi matematika feladatai