A B. 3854. feladat (2005. november)

B. 3854. Van-e olyan nem szabályos háromszög, amelynek súlyvonalaiból, mint oldalakból hozzá hasonló háromszög szerkeszthető?

(4 pont)

A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyenek a háromszög oldalai a $\le$ b $\le$ c, a megfelelő súlyvonalak pedig s_a,s_b,s_c. A parelelogramma-szabályból levezethető jól ismert összefüggés szerint 4s_a²=2c²+2b²-a², 4s_b²=2c²+2a²-b² és 4s_c²=2a²+2b²-c². Látható, hogy s_a $\ge$ s_b $\ge$ s_c, ezért a feladat megvalósíthatóságának szükséges és elégséges feltétele

$2c^2+2b^2-a^2\ :\ 2c^2+2a^2-b^2\ :\ 2a^2+2b^2-c^2=c^2\ :\ b^2\ :\ a^2.$

Az A=a²,B=b²,C=c² jelöléseket bevezetve, ez ekvivalens azzal, hogy a

$2BC+2B^2-AB=2C^2+2AC-BC\ \hbox{\rm és} \ 2AC+2A^2-AB=2AB+2B^2-BC$

egyenlőségek egyszerre teljesülnek. A két egyenletet összeadva, rendezés után a

0=A²+2BC-C²-2AB=(A-C)(A+C-2B)

egyenletre jutunk. Ha A=C, akkor a háromszög szabályos, ellenkező esetben szükségképpen A+C-2B=0, vagyis C=2B-A, ami mellesleg abban az esetben is teljesül, ha a háromszög szabályos. Megfordítva, könnyű ellenőrizni, hogy C=2B-A esetén mindkét fenti egyenlőség teljesül. A feladat tehát pontosan akkor valósítható meg, ha c²=2b²-a². Ez teljesül például abban a derékszögű háromszögben, amelyben a=1, $b=\sqrt{2}$ és $c=\sqrt{3}$ .

Statisztika:

87 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Almási 270 Gábor András, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Cséke Balázs, Csizmadija Laura, Dányi Zsolt, Gyöngyösi Zsolt, Győrffy Lajos, Gyurcsik Judit, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kiss 243 Réka, Kiss Blanka, Klimaj Zoltán, Komáromy Dani, Kornis Bence, Kostyák Zsigmond, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Kurgyis Eszter, Kutas Péter, Lamm Éva, Láng Marcell, Mészáros Gábor, Müller Márk, Nagy 235 János, Németh 546 Attila György, Pap Máté, Rimay Zoé, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalóki Dávid, Szécsényi Ágnes, Szeles Annamária, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóth Réka Judit.

3 pontot kapott: 12 versenyző.

2 pontot kapott: 5 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 25 versenyző.

A KöMaL 2005. novemberi matematika feladatai

87 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Almási 270 Gábor András, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Cséke Balázs, Csizmadija Laura, Dányi Zsolt, Gyöngyösi Zsolt, Győrffy Lajos, Gyurcsik Judit, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kiss 243 Réka, Kiss Blanka, Klimaj Zoltán, Komáromy Dani, Kornis Bence, Kostyák Zsigmond, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Kurgyis Eszter, Kutas Péter, Lamm Éva, Láng Marcell, Mészáros Gábor, Müller Márk, Nagy 235 János, Németh 546 Attila György, Pap Máté, Rimay Zoé, Salát Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalóki Dávid, Szécsényi Ágnes, Szeles Annamária, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Tossenberger Anna, Tóth Réka Judit.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	5 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	25 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?