A B. 3860. feladat (2005. november)

B. 3860. Egy ellipszis alakú asztallap ,,hossza'' 160 cm, ,,szélessége'' 1 m. Le lehet-e takarni az asztallapot teljes egészében egy téglalap alakú, 140 cm×130 cm-es terítővel?

(5 pont)

A beküldési határidő 2005. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Tekintsünk egy tetszőleges ellipszist, egyik fókuszának a nagytengely végpontjaitól vett távolsága legyen f illetve d+f, ahol tehát d a két fókuszpont távolsága. Írjunk az ellipszis köré egy T téglalapot, majd húzzunk a fókuszpontokon át párhuzamosokat a téglalap oldalaival, ezek egy kisebb T' téglalapot zárnak közre. T oldalait jelölje A,B, a T' megfelelő oldalai pedig legyenek a, illetve b. A fókuszpontoknak T oldalaitól mért távolsága legyen x és y úgy, hogy A=a+2x és B=b+2y. Ismeretes, hogy ha az ellipszis egyik fókuszából annak egy érintőjére merőlegest állítunk, akkor a merőleges talppontja az ellipszis főkörére esik. Ennek alapján látszik, hogy T' oldalegyenesei T oldalait a főkörön metszik. Ezért

x(a+x)=y(a+y)=f(d+f),

hiszen mindhárom szorzat a fókuszpont főkörre vonatkozó hatványa. A Pithagorasz-tétel szerint pedig d²=a²+b², vagyis

A²+B²=(a+2x)²+(b+2y)²=a²+4x(a+x)+b²+4y(b+y)=d²+8f(d+f)

csak az ellipszistől függő állandó, esetünkben 1²+1,6²=3,56, a métert tekintve hosszegységnek.

Tekintsük most az adott ellipszis olyan két egymással párhuzamos érintőjét, melyek távosága 1,4. Az előbbiek szerint az erre merőleges két érintő távolsága , vagyis az asztal letakarható az adott terítővel.

Statisztika:

50 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bogár 560 Péter, Csaba Ákos, Csató László, Cseh Ágnes, Grósz Dániel, Honner Balázs, Károlyi Márton, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Mészáros Gábor, Nagy 235 János, Németh 546 Attila György, Páldy Sándor, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Sárkány Lőrinc, Sommer Dániel, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szűcs Gergely, Tomon István, Udvari Balázs.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

A KöMaL 2005. novemberi matematika feladatai