 |
A B. 3887. feladat (2006. február) |
B. 3887. Tíznél több egységnyi fakockából egy nagy, tömör kockát építettünk, majd a nagy kocka minden lapját befestettük. Ezután különválasztottuk a többitől azokat a kis kockákat, amelyeknek egyetlen lapja sincs befestve. Lehet-e ezen kockák száma többszöröse a többi kocka számának?
(4 pont)
A beküldési határidő 2006. március 16-án LEJÁRT.
Megoldás: Ha a nagy kockát (n+2)3 számú fakockából építettük (n pozitív egész), akkor a különválasztott kis kockák száma n3, a többié pedig d=(n+2)3-n3=6n2+12n+8. Ha d osztója n3-nek, akkor osztja a dn-6n3=12n2+8n számot is. Mivel ez 2d-nél kisebb pozitív szám, egyenlő kell legyen d-vel. Ez viszont a 6n2-4n-8=0 másodfokú egyenletre vezet, aminek nincs egész megoldása. A feltett kérdésre tehát nemleges a válasz.
Statisztika:
125 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 68 versenyző. 3 pontot kapott: 5 versenyző. 2 pontot kapott: 6 versenyző. 1 pontot kapott: 25 versenyző. 0 pontot kapott: 19 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2006. februári matematika feladatai