A B. 3888. feladat (2006. február)

B. 3888. Mely m>1 egészekre létezik az $1,2,\ldots,m$ számoknak olyan $a_1,a_2,\allowbreak \ldots,a_m$ sorrendje, hogy az $a_1,a_1+a_2,\ldots,a_1+a_2+ \ldots+a_m$ összegek mind különböző maradékot adnak m-mel osztva?

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. március 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Ha létezik ilyen sorrend, akkor abban a₁=m. Ha m páratlan, akkor $a_1+a_2+\ldots+a_m=m(m+1)/2$ is osztható m-mel, tehát m páros. Ha viszont m=2k páros szám, akkor legyen a_i=i-1, ha i páros és a_i=m-i+1, ha i páratlan; az így megadott sorrend megfelelő lesz. Valóban, ekkor a_i+a_i+1 m-mel osztva 1 maradékot ad, ha i páratlan, illetve m-1 maradékot ad, ha i páros. Ezért az a₁, a₁+a₂+a₃, a₁+a₂+a₃+a₄+a₅, $\ldots,$ $a_1+a_2+\ldots+a_{m-1}$ összegek rendre $0,1,2,\ldots, k-1$ maradékot adnak m-mel osztva, a felsorolásból kimaradt összegek pedig rendre $m-1,m-2,\ldots, m-k=k$ maradékot adnak. Vagyis pontosan akkor van megfelelő sorrend, ha m páros.

Statisztika:

58 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Balambér Dávid, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Csató László, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Dányi Zsolt, Dombi Soma, Farkas Ádám László, Grósz Dániel, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kornis Kristóf, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Kurgyis Eszter, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Peregi Tamás, Prőhle Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szaller Dávid, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tomon István, Tóthmérész Lilla, Udvari Balázs, Varga 171 László, Véges Márton.

4 pontot kapott: Fegyverneki Tamás, Kovács 111 Péter, Kovács 333 Veronika, Matyuska Péter, Nagy 314 Dániel, Nagy-Baló András, Tossenberger Anna, Varga 111 Péter.

3 pontot kapott: 5 versenyző.

2 pontot kapott: 3 versenyző.

1 pontot kapott: 3 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2006. februári matematika feladatai

58 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Balambér Dávid, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Csató László, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Dányi Zsolt, Dombi Soma, Farkas Ádám László, Grósz Dániel, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kornis Kristóf, Kovács 129 Péter, Kunovszki Péter, Kurgyis Eszter, Kutas Péter, Lovász László Miklós, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Peregi Tamás, Prőhle Zsófia, Sárkány Lőrinc, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szalkai Balázs, Szaller Dávid, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tomon István, Tóthmérész Lilla, Udvari Balázs, Varga 171 László, Véges Márton.
4 pontot kapott:	Fegyverneki Tamás, Kovács 111 Péter, Kovács 333 Veronika, Matyuska Péter, Nagy 314 Dániel, Nagy-Baló András, Tossenberger Anna, Varga 111 Péter.
3 pontot kapott:	5 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	3 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?