A B. 3894. feladat (2006. március)

B. 3894. Az ABCD trapéz AB és CD szárainak egyenesei az M pontban metszik egymást. Az M-en átmenő e egyenes AD egyenesét az A-tól és D-től különböző E pontban, BC egyenesét pedig F-ben metszi. Az ABFE és a CDEF trapézok mindegyikében megszerkesztjük az átlók metszéspontját, jelölje ezeket P és Q. Mutassuk meg, hogy PQ párhuzamos a trapézok alapjaival.

(3 pont)

A beküldési határidő 2006. április 18-án LEJÁRT.

Megoldás: Az APE és FPB háromszögek hasonlóak, a hasonlóság aránya pedig AE/BF, ilyen arányban viszonyul egymáshoz a két háromszög egymásnak megfelelő magasságainak hossza is. A P pontnak az AD és BC egyenesektől vett távolságainak aránya tehát AE:BF. Hasonló okok miatt a Q pontnak az AD és BC egyenesektől vett távolságainak aránya DE:CF. Az MAE és MBF, illetve az MDE és MCF háromszögek hasonlósága miatt azonban AE:BF=ME:MF=DE:CF, vagyis a P és Q pontok az AD és BC egyenesek között, az AD egyenestől ugyanakkora távolságra helyezkednek el, PQ tehát valóban párhuzamos az AD egyenessel.

Statisztika:

134 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	130 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2006. márciusi matematika feladatai