Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3897. feladat (2006. március)

B. 3897. Milyen n-re választható meg az $x_1,x_2,\ldots,x_n$ változók értéke a {+1;-1} halmazból úgy, hogy $x_1x_2+x_2x_3+x_3x_4+\ldots+x_{n-1}x_n+x_nx_1=0$ teljesüljön?

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. április 18-án LEJÁRT.

Megoldás: Az x_n+1=x₁ jelölést bevezetve, 1 $\le$ i $\le$ n esetén x_ix_i+1 értéke +1 pontosan akkor, ha x_i és x_i+1 előjele megegyezik, ellenkező esetben pedig a szorzat értéke -1. A szorzatok összege tehát pontosan akkor 0, ha a szorzatok fele +1, másik fele pedig -1 értéket vesz fel, vagyis ha az $x_1,x_2,\ldots,x_n,x_1$ sorozatban az előjelváltások száma, e=n/2. Mivel az e egész szám mindenképpen páros, az n szám osztható kell legyen 4-gyel. Ha pedig n osztható 4-gyel, akkor az x_4i-3=x_4i-2=+1, x_4i-1=x_4i=-1 választás nyilván megfelelő.

Statisztika:

118 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 78 versenyző.

3 pontot kapott: 11 versenyző.

2 pontot kapott: 15 versenyző.

1 pontot kapott: 8 versenyző.

0 pontot kapott: 6 versenyző.

A KöMaL 2006. márciusi matematika feladatai

118 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	78 versenyző.
3 pontot kapott:	11 versenyző.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	6 versenyző.