A B. 3899. feladat (2006. március)

B. 3899. Lehet-e négy egymást követő pozitív egész szám szorzata köbszám?

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. április 18-án LEJÁRT.

Megoldás: Legyen a négy szám növekvő sorrendben a,b,c,d. A számok közül a és c relatív prím b-hez, és (c,d)=1 is igaz, ha pedig a nem relatív prím d-hez, akkor (a,d)=3. Ezért az ac és bd számok vagy relatív prímek, vagy pedig 3 a legnagyobb közös osztójuk. Szorzatuk tehát csak úgy lehet köbszám, ha vagy mind a ketten köbszámok, vagy pedig egyikük egy köbszám 3-szorosa, másikuk pedig egy köbszám 9-szerese (ez utóbbi két esetben a és d 3-mal osztható). Tegyük fel, hogy ez a helyzet. A négy szám között található két egymást követő páralan szám, ezek nyilván egymáshoz relatív prímek. Tegyük fel, hogy a és c ez a két szám. Ha ac köbszám, akkor a és c is köbszám. Ha pedig ac egy köbszám 3-szorosa vagy 9-szerese, akkor a osztható 3-mal, c köbszám, a pedig egy köbszám 3-szorosa vagy 9-szerese. Láthatjuk, hogy c mindenképpen köbszám. Hasonló okoskodás mutatja, hogy ha a két páratlan szám b és d, akkor b mindenképpen köbszám.

Ha b köbszám, akkor a másik három szám szorzata, acd=(b-1)(b+1)(b+2)=b³+2b²-b-2 is köbszám. Azonban b2 miatt 2b²>b+2, vagyis

b³<b³+2b²-b-2<b³+3b²+3b+1=(b+1)³.

Ekkor tehát acd két egymást követő köbszám közé esik, nem lehet köbszám, ami ellentmondás. Ha pedig c lenne köbszám, akkor abd=(c-2)(c-1)(c+1)=c³-2c²-c+2 is az lenne. Most c3, vagyis c8>3 miatt c²>4c-3, 3c²-3c+1>2c²+c-2, tehát

(c-1)³=c³-3c²+3c-1<c³-2c²-c+2<c³.

Most is ellentmondásra jutottunk, ami azt jelenti, hogy négy egymást követő pozitív egész szám szorzata soha nem lehet köbszám.

Statisztika:

62 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Almási 270 Gábor András, Csorba János, Dombi Soma, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Horváth 385 Vanda, Károlyi Gergely, Károlyi Márton, Kovács 111 Péter, Kutas Péter, Mercz Béla, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Móri Bálint, Müller Márk, Nagy 235 János, Pásztor Attila, Peregi Tamás, Pesti Veronika, Pirkó Dániel, Sárkány Lőrinc, Sommer Dániel, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szirmai Péter, Szudi László, Tomon István, Tossenberger Anna, Udvari Balázs, Varga 171 László, Zieger Milán.
4 pontot kapott:	Németh 007 Zsolt, Szakács Nóra, Szórádi Márk, Szűcs Gergely.
3 pontot kapott:	6 versenyző.
2 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	9 versenyző.

A KöMaL 2006. márciusi matematika feladatai