A B. 3900. feladat (2006. március)

B. 3900. Határozzuk meg azokat az (a₁;a₂) pozitív egész számpárokat, amelyekre az $a_{n+2}=\frac{a_n+a_{n+1}}{(a_n,a_{n+1})}$ (n $\ge$ 1) rekurzióval definiált sorozat periodikus.

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. április 18-án LEJÁRT.

Megoldás: Nyilván a sorozat minden tagja pozitív egész. Legyen (a_n,a_n+1)=d_n, ekkor a_n+1 és a_n=d_na_n+2-a_n+1, következésképpen d_n is osztható d_n+1-gyel. Ha az a_n sorozat az i-edik tagtól kezdve periodikus, akkor ugyanez igaz a d_n sorozatra, vagyis ekkor $d_i=d_{i+1}=d_{i+2}=\ldots=d$ . Ha d=1 lenne, akkor a sorozat az i-edik tagtól kezdve szigorúan monoton nőne, vagyis nem lenne periodikus, a d $\ge$ 3 esetben pedig az

$a_{n+3}+a_{n+2}=a_{n+1}\Bigl({2\over d}+{1\over d^2}\Bigr)+ a_n \Bigl({1\over d}+{1\over d^2}\Bigr)<a_{n+1}+a_n$

becslés alapján jutnánk ellentmondásra. Tehát d=2. Ekkor viszont n $\ge$ i esetén

$a_{n+2}-a_{n+1}=-{a_{n+1}-a_n\over 2}$

miatt $a_i=a_{i+1}=a_{i+2}=\ldots$ , ellenkező esetben az ugyancsak periodikus |a_n+1-a_n| sorozat szigorúan csökkenő lenne. Az a_n számok közös értéke csak 2 lehet, és ebből $a_{i-1}=a_{i-2}=\ldots=a_2=a_1=2$ is következik indukcióval.

Statisztika:

38 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Blázsik Zoltán, Csató László, Cserép Gergely, Cserép Máté, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Kassay Gábor, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Nagy 235 János, Páldy Sándor, Pásztor Attila, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szolnoki Lénárd, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Udvari Balázs, Varga 171 László.

4 pontot kapott: Nagy 314 Dániel, Priksz Ildikó, Sárkány Lőrinc, Tóthmérész Lilla, Varga 868 András.

3 pontot kapott: 3 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2006. márciusi matematika feladatai

38 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Blázsik Zoltán, Csató László, Cserép Gergely, Cserép Máté, Győrffy Lajos, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Kassay Gábor, Kovács 111 Péter, Kovács 129 Péter, Mészáros Gábor, Milotai Zoltán, Nagy 235 János, Páldy Sándor, Pásztor Attila, Sümegi Károly, Szabó 108 Tamás, Szakács Nóra, Szalkai Balázs, Szalóki Dávid, Szilágyi 987 Csaba, Szolnoki Lénárd, Szudi László, Szűcs Gergely, Tomon István, Udvari Balázs, Varga 171 László.
4 pontot kapott:	Nagy 314 Dániel, Priksz Ildikó, Sárkány Lőrinc, Tóthmérész Lilla, Varga 868 András.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?