A B. 3931. feladat (2006. szeptember)

B. 3931. Adjunk meg olyan racionális együtthatós p polinomot, amelyre $p\big(\sqrt{2} + \sqrt{3}\,\big)=\sqrt{2}$ .

Fried Ervin (Budapest)

(5 pont)

A beküldési határidő 2006. október 16-án LEJÁRT.

Megoldás: A keresett polinom legalább elsőfokú. Ha p(x)=cx+d, akkor $p(\sqrt{2}+\sqrt{3})=c\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d$ , ha pedig p(x)=bx²+cx+d, akkor

$p(\sqrt{2}+\sqrt{3})=5b+2b\sqrt{6}+c\sqrt{2}+c\sqrt{3}+d.$

Annak ellenőrzése, hogy egy ilyen alakú szám lehet-e $\sqrt{2}$ -vel egyenlő, bonyolult számolásokhoz vezetne, ezért inkább keressük a polinomot p(x)=ax³+bx²+cx+d alakban, ahol a,b,c,d racionális számok. Ekkor

$p(x)=a(2\sqrt{2}+6\sqrt{3}+9\sqrt{2}+3\sqrt{3})+b(6+2\sqrt{6}) +c(\sqrt{2}+\sqrt{3})+d$

$=(11a+c)\sqrt{2}+(9a+c)\sqrt{3}+2b\sqrt{6}+(6b+d).$

Ha az a,b,c,d számokat meg tudjuk úgy választani, hogy 11a+c=1 és 9a+c=2b=6b+d=0 legyen, akkor készen vagyunk. Ez pedig igen egyszerű: b=d=0, a=1/2, c=-9/2 az egyetlen megfelelő választás. A $p(x)=\frac{1}{2}x^3-\frac{9}{2}x$ polinom tehát megoldása a feladatnak. (A negyedfokú polinomok között pedig már végtelen sok különböző megoldás létezik.)

Statisztika:

175 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: 120 versenyző.

4 pontot kapott: 28 versenyző.

3 pontot kapott: 1 versenyző.

2 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 24 versenyző.

A KöMaL 2006. szeptemberi matematika feladatai

175 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	120 versenyző.
4 pontot kapott:	28 versenyző.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	24 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?