 |
A B. 3935. feladat (2006. október) |
B. 3935. Egy Hamlet előadáson több szerep párosítva van, például Gertrudis és a Színészkirálynő szerepét ketten is tudják. Az előadás előtt sorsolással döntik el, hogy kettejük közül ki játssza aznap a Színészkirálynőt, illetve Gertrudist. Hasonló sorsolással döntenek a további párok esetében is. Sári egyszer már látta az előadást, de a Gertrudis/Színészkirálynő, Claudius/Színészkirály, Ophelia/Fortinbras szerepeket a másik változatban is szeretné megnézni, bár nem feltétlenül egy előadáson. Hány előadásra váltson még jegyet, hogy legalább 90% legyen annak a valószínűsége, hogy mindhárom szerepet látja a másik szereposztásban is?
(4 pont)
A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.
Megoldás. Tegyük fel, hogy Sári még n előadást néz meg. Nyilván minél nagyobb az n értéke, annál nagyobb annak a valószínűsége, hogy Sári mindhárom szerepet látja a másik szereposztásban is. Rögzítsük az egyik szereppárt (pl. Ophelia / Fortinbras). Annak valószínűsége, hogy ezt a párost minden alkalommal ugyanabban a leosztásban látja, mint először, nyilván 1/2n. Ez az A rossz esemény tehát P(A)=1/2n valószínűséggel következik be, akárcsak a másik két hasonló rossz esemény, melyet jelöljön B, illetve C. Annak a valószínűsége, hogy egyszerre két ilyen rossz esemény, mondjuk A és B is bekövetkezik, P(A
B)=(1/2n)2=1/4n, annak pedig, hogy mind a három egyszerre bekövetkezik, P(ABC)=1/8n.
Annak a valószínűsége tehát, hogy egyik rossz esemény sem következik be, a logikai szitaformula szerint
1-P(A)-P(B)-P(C)+P(AB)+P(AC)+P(BC)-P(ABC).
Ez kell, hogy legalább 0,9 legyen. Ennek szükséges és elégséges feltétele
Ha n=4, akkor a baloldal értéke
Ha viszont n=5, akkor a megfelelő értékre már
adódik. Sárinak tehát még legalább 5 előadásra kell jegyet váltania.
Statisztika:
140 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 75 versenyző. 3 pontot kapott: 16 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 13 versenyző. 0 pontot kapott: 34 versenyző.
A KöMaL 2006. októberi matematika feladatai