Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3938. feladat (2006. október)

B. 3938. Az 1-nél nagyobb a_1,a_2,\ldots, a_{10} egészek összege 2006. Mekkora az

\binom{a_1}{2}+\ldots+ \binom{a_{10}}{2}

összeg lehetséges legkisebb értéke?

(4 pont)

A beküldési határidő 2006. november 15-én LEJÁRT.

Megoldás. Válasszuk meg az ai számokat oly módon, hogy a szóban forgó összeg a lehető legkisebb legyen. Ezt megtehetjük, hiszen a számokra adott feltétel nem üres, és az azt kielégítő számokra az összeg értéke pozitív egész szám. A számok közül ekkor bármely kettő legfeljebb 1-gyel tér el egymástól. Valóban, ha x és y szerepelne a számok között, és y\gex+2 lenne, akkor x-et 1-gyel növelve, y-t pedig 1-gyel csökkentve, az összeg a pozitív

{x\choose 2}+{y\choose 2}-{x+1\choose 2}-{y-1\choose 2}=y-1-x

mennyiséggel csökkenne, ami ellentmond a számok választásának.

A számok közül tehát ekkor 6 darab 201-gyel, 4 pedig 200-zal egyenlő. Az összeg lehetséges legkisebb értéke ezek szerint

6\cdot{201\choose 2}+4\cdot{200\choose 2}=(6\cdot 201+4\cdot 199)\cdot 100= 200200.

Statisztika:

190 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:96 versenyző.
3 pontot kapott:41 versenyző.
2 pontot kapott:27 versenyző.
1 pontot kapott:14 versenyző.
0 pontot kapott:12 versenyző.

A KöMaL 2006. októberi matematika feladatai