A B. 3953. feladat (2006. december)

B. 3953. Adott 100 valós szám, az összegük nulla. Legalább hány olyan pár választható ki közülük, amelyben a számok összege nemnegatív?

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Vegyünk fel egy $A_1A_2\ldots A_{99}$ szabályos 99-szöget, melynek középpontja O, és írjuk a számokat valamilyen sorrendben az $O,A_1,A_2,\ldots,A_{99}$ pontokba. Minden egyes 1 $\le$ i $\le$ 99 esetén alkossunk a számokból 50 párt a következő módon: az egyik párt alkossák az OA_i szakasz végpontjaiba írt számok, a további 49 párt pedig úgy képezzük, hogy a fennmaradó 98 pontot összekötő szakaszok közül az OA_i egyenesre merőleges szakaszok végpontjaiba írt számokat tekintjük egy-egy párnak.

Könnyen ellenőrizhető, hogy ilyen módon a számokból képezhető ${100\choose 2}=99\cdot 50$ párt 99 csoportba osztottuk oly módon, hogy az egy csoporton belül található 50 párban a 100 szám mindegyike pontosan egyszer szerepel. Ha tehát az egy csoporton belül található 50 pár mindegyikére tekintjük a párban szereplő két szám összegét, akkor az így kapott 50 szám összege 0, vagyis közülük legalább az egyik nemnegatív.

Létezik tehát legalább 99 olyan pár, amelyben a számok összege nemnegatív. Ennél többet azonban nem mondhatunk, hiszen a $99, -1, -1, \ldots, -1$ számokból ennél több nemnegatív összegű számpár nem választható ki.

Statisztika:

126 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Bálint Dániel, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Duba Zsombor, Éles András, Farkas Ádám László, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Gombor Tamás, Győrffy Lajos, Heinczinger Ádám, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Konkoly Csaba, Kunos Ádám, Mercz Béla, Mester Anita, Mészáros András, Nagy 314 Dániel, Nagy-Baló András, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szudi László, Szűcs Gergely, Tallián György, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Vámos Anna, Varga 171 László, Véges Márton, Wagner Zsolt, Wolosz János.

4 pontot kapott: Cséke Balázs, Herber Máté, Nagy 648 Donát, Szabó Levente, Vajsz Tibor.

3 pontot kapott: 9 versenyző.

2 pontot kapott: 10 versenyző.

1 pontot kapott: 45 versenyző.

0 pontot kapott: 13 versenyző.

Nem versenyszerű: 2 dolgozat.

A KöMaL 2006. decemberi matematika feladatai

126 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Bálint Dániel, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Dinh Hoangthanh Attila, Dinh Van Anh, Duba Zsombor, Éles András, Farkas Ádám László, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Gombor Tamás, Győrffy Lajos, Heinczinger Ádám, Honner Balázs, Károlyi Gergely, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Konkoly Csaba, Kunos Ádám, Mercz Béla, Mester Anita, Mészáros András, Nagy 314 Dániel, Nagy-Baló András, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szalóki Dávid, Szudi László, Szűcs Gergely, Tallián György, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Vámos Anna, Varga 171 László, Véges Márton, Wagner Zsolt, Wolosz János.
4 pontot kapott:	Cséke Balázs, Herber Máté, Nagy 648 Donát, Szabó Levente, Vajsz Tibor.
3 pontot kapott:	9 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	45 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?