 |
A B. 3955. feladat (2006. december) |
B. 3955. Egy színház Lear király előadásán a II.-V. felvonás helyszínét a felvonások előtt sorsolják ki. A nézőtér négy részre oszlik, a nézők a székükkel együtt átülnek egy másik területre, ha éppen az a rész a következő helyszín, ahol ők ülnek. Tegyük fel, hogy mind a négy terület elég nagy ahhoz, hogy ha kiválasztjuk az egyiket, akkor oda le is tudjuk tenni a székünket, és minden területet egyenlő eséllyel választunk ki magunknak. Hányszor akkora annak a valószínűsége, hogy kétszer kell ,,költöznünk'', mint annak, hogy csak egyszer?
(4 pont)
A beküldési határidő 2007. január 15-én LEJÁRT.
Megoldás: 4 sorsolás történik. Minden egyes alkalommal - függetlenül attól, hogy most hol ülünk, illetve hogy költöztünk-e korábban, vagy sem, és ha igen, mikor hova - pontosan 1/4 annak a valószínűsége, hogy költöznünk kell, és 3/4 annak, hogy maradhatunk. Annak a valószínűsége, hogy az első sorsolás alkalmával költöznünk kell, de a többinél nem, éppen (1/4)(3/4)3. Ugyanennyi a valószínűsége annak is, hogy a második sorsolás alkalmával kell költöznünk, de a többinél nem, és hasonló a helyezet a 3. és 4. sorsolással is. Mivel ez a négy esemény páronként kizárja egymást, annak a valószínűsége, hogy pontosan egyszer kell költöznünk, p(1)=4(1/4)(3/4)3=108/44.
Az, hogy a 4 alkalomból pontosan kétszer kell költözünk, 6-féleképpen történhet aszerint, hogy a költözések melyik felvonás előtt történnek. Mindegyik ilyen esemény (pl. hogy pont az utolsó két felvonás előtt kell költözni) valószínűsége egyaránt (1/4)2(3/4)2. Annak valószínűsége tehát, hogy pontosan kétszer kell költöznünk, p(2)=6(1/4)2(3/4)2=54/44, ami éppen a p(1) valószínűség fele. Vagyis 1/2-szer akkora annak a valószínűsége, hogy kétszer kell költöznünk, mint annak, hogy csak egyszer.
Statisztika:
141 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 70 versenyző. 3 pontot kapott: 18 versenyző. 2 pontot kapott: 7 versenyző. 1 pontot kapott: 6 versenyző. 0 pontot kapott: 38 versenyző. Nem versenyszerű: 2 dolgozat.
A KöMaL 2006. decemberi matematika feladatai