A B. 3956. feladat (2006. december)

B. 3956. Adott 2006 pont a síkon. Legfeljebb hány olyan pont lehet köztük, amely bármely másik két ponttal hegyesszögű háromszöget határoz meg?

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Egy ilyen pont lehet: egy O középpontú egyég sugarú körvonalon jelöljünk ki egy /2 hosszúságú körívet, és annak belsejében 2005 pontot. Ezek közül bármely kettő O-val együtt egy olyan egyenlőszárú háromszöget határoz meg, amelynek O-nál lévő szöge is kisebb, mint 90^o.

Két ilyen pont viszont nem lehet. Tegyük fel, hogy az adott pontok közül A és B is rendelkezik a megkívánt tulajdonsággal. Az AB szakaszra annak végpontjaiban merőlegeseket állítva, az összes többi pont a két így kapott párhuzamos egyenes közé kell, hogy essen. Ezt a tartományt az AB szakasz két részre osztja, valamelyikben van legalább két pont, C és D. A CD egyenes nem mehet át sem az A, sem a B ponton. Ha az A,B,C,D pontok egy konvex sokszög csúcsai, akkor annak A-nál és B-nél is hegyesszöge van, tehát C-nél vagy D-nél tompaszöge kell, hogy legyen, ami miatt vagy az ACD, vagy a BCD háromszög tompaszögű lenne. Végül ha valamelyik pont, mondjuk C, a másik három által alkotott háromszög belsejébe esik, akkor az ACB, BCD, DCA szögek közül az egyik legalább 120^o-os, ami ugyancsak ellentmondást jelent.

Statisztika:

115 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Balla Attila, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Dibuz Dániel, Dinh Hoangthanh Attila, Éles András, Énekes Péter, Farkas Ádám László, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Gombor Tamás, Herber Máté, Honner Balázs, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Konkoly Csaba, Kornis Kristóf, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Kurgyis Kata, Mártonka Zoltán, Mercz Béla, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András, Peregi Tamás, Pirkó Dániel, Püsök László, Somogyi Ákos, Sümegi Károly, Szívós Eszter, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tallián György, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Tóth 796 Balázs, Tubak Dániel, Véges Márton, Wagner Zsolt, Wolosz János.
3 pontot kapott:	30 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	12 versenyző.
0 pontot kapott:	18 versenyző.

A KöMaL 2006. decemberi matematika feladatai