A B. 3958. feladat (2006. december)

B. 3958. Az ABC háromszögnek C-nél derékszöge van, a beírt körének a középpontja O. Az O pontban az OA és az OB szakaszokra bocsátott merőlegesek az AB oldalt P-ben, illetve Q-ban metszik. A P pont merőleges vetülete a BC oldalon P', Q merőleges vetülete az AC oldalon Q'.

Bizonyítsuk be, hogy a P', Q' és O pontok egy egyenesen vannak.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen az O pont merőleges vetülete az AB,AC,BC és QQ' szakaszokra rendre C',B',A', illetve Q''. Ekkor OA'=OB'=OC'=r, ahol r a beírt kör sugara. A C'OQ és OBQ háromszögek hasonló derékszögű háromszögek, vagyis a C'OQ szög egyenlő az OBQ szöggel, ami éppen az ABC szög fele. Másrészt OC' merőleges AB-re és OQ'' merőleges BC-re, vagyis a C'OQ'' szög egyenlő az ABC szöggel. Ezért a QOQ'' szög is éppen az ABC szög felével egyenlő.

A C'OQ és Q''OQ derékszögű háromszögek ezért egybevágóak, vagyis OQ''=OC'=r, ahonnan kapjuk, hogy B'Q'=OQ''=r=OB', tehát az OB'Q' háromszög olyan egyenlőszárú derékszögű háromszög, amelynek befogója r. Hasonló állítás igaz az P'A'O háromszögre is. Mivel a két háromszög egymásnak megfelelő befogói páronként egymással párhuzamosak, az átfogók is azok lesznek, ami bizonyítja az állítást, sőt az is kiderül ebből, hogy az O pont éppen a P'Q' szakasz felezőpontja.

Statisztika:

111 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	100 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2006. decemberi matematika feladatai