 |
A B. 3972. feladat (2007. február) |
B. 3972. Bizonyítsuk be, hogy egy n pozitív egészhez pontosan akkor adható meg n darab egész szám úgy, hogy összegük 0, szorzatuk pedig n legyen, ha n osztható 4-gyel.
(3 pont)
A beküldési határidő 2007. március 19-én LEJÁRT.
Megoldás: Ha n páratlan, akkor a szorzatra vonatkozó feltétel miatt mindegyik szám páratlan kellene legyen, de páratlan sok páratlan szám összege nem lehet 0, lévén páratlan. Hasonlóképpen, ha n páros, de 4-gyel nem osztható, akkor a számok között pontosan egy párosnak kellene lennie, amiért is a számok összege ismét páratlan lenne. Ha n osztható 8-cal, akkor 1 darab 2-es, 1 darab -es,
darab 1-es és
darab -1-es megfelelő lesz. Végül, ha n nem osztható 8-cal, de 4-gyel igen, akkor 1 darab -2-es, 1 darab
-es,
darab 1-es és
darab -1-es lesz megfelelő választás.
Statisztika:
138 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 51 versenyző. 2 pontot kapott: 23 versenyző. 1 pontot kapott: 50 versenyző. 0 pontot kapott: 14 versenyző.
A KöMaL 2007. februári matematika feladatai