 |
A B. 3973. feladat (2007. február) |
B. 3973. Hányféleképpen lehet a sakktáblán elhelyezni 14 futót úgy, hogy semelyik kettő ne üsse egymást?
(3 pont)
A beküldési határidő 2007. március 19-én LEJÁRT.
Megoldás: Nevezzük átlónak a sakktábla azonos színű mezőinek olyan maximális részhalmazát, amelyek mindegyikén áthalad valamely, a tábla széleivel 45o-os szöget bezáró egyenes. Ennek megfelelően megkülönböztetünk sötét és világos átlókat, egy adott átló hossza alatt az átlóban szereplő mezők számát értjük. Világos, hogy egy átlóban csak egy futó állhat. Mivel az összes világos mező beosztható 7 párhuzamos átlóba, melyek hossza rendre 2, 4, 6, 8, 6, 4, 2, és hasonló állítás igaz a sötét mezőkre is, a 14 futót csak úgy helyezhető el, ha pontosan 7 világos és 7 sötét bábu van köztük, az említett átlók közül mindegyikben pontosan egy.
Vizsgáljuk meg, hányféleképpen helyezhetjük el a 7 világos bábut, a 14 futó lehetséges elhelyezéseinek száma nyilván ennek a négyzete lesz. Az egyik 2 hosszú világos átló bármelyik mezőjére helyezhetünk egy bábut, ez a másik 2 hosszú világos átlóban elhelyezhető bábu helyzetét egyértelműen meghatározza. Ezek után a 4, 6, illetve 8 hosszú világos átlókban a középső két helyre már nem tehetünk bábut, vagyis az egyik 4 hosszú átlóban két hely közül választhatunk, és az a másik 4 hosszú átlóba elhelyezendő bábu helyét már eldönti. A gondolatmenetet folytatva látszik, hogy a 7 világos bábut 24 lehetséges módon helyezhetjük el, az összeset pedig ezek szerint 28=256 különböző módon.
Statisztika:
187 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 113 versenyző. 2 pontot kapott: 15 versenyző. 1 pontot kapott: 22 versenyző. 0 pontot kapott: 37 versenyző.
A KöMaL 2007. februári matematika feladatai