A B. 3974. feladat (2007. február)

B. 3974. Adott egy ABC háromszög. Mi azon P pontok mértani helye a síkban, amelyekre AP²+BP²=CP²?

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. március 19-én LEJÁRT.

Megoldás: A megoldáshoz a vektorok skaláris szorzatának fogalmát és tulajdonságait használjuk fel. Az A,B,C,P pontok helyvektorai legyenek rendre a,b,c,p. Ekkor az AP²+BP²=CP² feltétel (p-a)²+(p-b)²=(p-c)² alakban írható fel. Kifejtés és átrendezés után azt kapjuk, hogy p²-2p(a+b-c)+a²+b²-c²=0. Innen

(p-(a+b-c))²=2(c-a)(c-b)=2AC^.BCcos =AC²+BC²-AB².

Legyen a C csúcs tükörképe az AB szakasz felezőpontjára D, ekkor a+b-c éppen a D pont helyvektora, a feltételt tehát

PD²=AC²+BC²-AB²

alakban írhatjuk fel. Ha >90^o, vagyis az ABC háromszögnek C-nél tompaszöge van, akkor a mértani hely üres. Ha =90^o, akkor a mértani hely egyedül a D pontból áll, ha pedig hegyesszög, akkor a P pontok mértani helye a D középpontú sugarú körvonal lesz.

Statisztika:

110 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Anda Roland, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bogár 560 Péter, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Gombor Tamás, Honner Balázs, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kunovszki Péter, Márkus Bence, Mester Anita, Meszlényi Regina, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Páldy Sándor, Réti Dávid, Rózsa Levente, Sárkány Lőrinc, Tossenberger Anna, Törcsvári Gergő.
3 pontot kapott:	Bakacsi Péter, Bock Lilla, Déri Nóra, Farkas Ádám László, Herber Máté, Kovács 333 Veronika, Kriván Bálint, Nagy-Baló András, Ratku Antal, Szabó 895 Dávid, Szalóki Dávid, Szikszay László, Tallián György, Varga 009 Bálint.
2 pontot kapott:	55 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	2 versenyző.

A KöMaL 2007. februári matematika feladatai