![]() |
A B. 3976. feladat (2007. február) |
B. 3976. Az a, b, c oldalú háromszög egy belső pontján át húzzunk az oldalakkal párhuzamos egyeneseket. Ha ezek háromszögön belüli szakaszai egyenlő hosszúak, mekkora ez a hosszúság?
(4 pont)
A beküldési határidő 2007. március 19-én LEJÁRT.
Megoldás: Az ábra jelöléseivel élve BC''=A'P=c, CB'=A''P=
b, AC'=B''P=
c, CA''=B'P=
a, BA'=C''P=
a, AB''=C'P=
b. A PC'C'' háromszög hasonló a CAB háromszöghöz, ahol a hasonlóság aránya
. Ezért C'C''=
c, vagyis
+
+
=1.
A feltétel szerint
B'C''=(1-)a=C'A''=(1-
)b=A'B''=(
+
)c.
Innen 1-=(
+
)c/a és 1-
=(
+
)c/b. összeadva a
összefüggésre jutunk, ahonnan
Következésképpen a keresett hosszúság
éppen az oldalak harmonikus közepének 2/3 része.
Statisztika:
93 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 78 versenyző. 3 pontot kapott: 3 versenyző. 2 pontot kapott: 1 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 8 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2007. februári matematika feladatai