Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 3976. feladat (2007. február)

B. 3976. Az a, b, c oldalú háromszög egy belső pontján át húzzunk az oldalakkal párhuzamos egyeneseket. Ha ezek háromszögön belüli szakaszai egyenlő hosszúak, mekkora ez a hosszúság?

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. március 19-én LEJÁRT.

Megoldás: Az ábra jelöléseivel élve BC''=A'P=\alphac, CB'=A''P=\alphab, AC'=B''P=\betac, CA''=B'P=\betaa, BA'=C''P=\gammaa, AB''=C'P=\gammab. A PC'C'' háromszög hasonló a CAB háromszöghöz, ahol a hasonlóság aránya \gamma. Ezért C'C''=\gammac, vagyis \alpha+\beta+\gamma=1.

A feltétel szerint

B'C''=(1-\alpha)a=C'A''=(1-\beta)b=A'B''=(\alpha+\beta)c.

Innen 1-\alpha=(\alpha+\beta)c/a és 1-\beta=(\alpha+\beta)c/b. összeadva a

2-\alpha-\beta=(\alpha+\beta)\Bigl(\frac{c}{a}+\frac{c}{b}\Bigr)

összefüggésre jutunk, ahonnan

2=(\alpha+\beta)\frac{ab+ac+bc}{ab}.

Következésképpen a keresett hosszúság

A'B''=(\alpha+\beta)c=\frac{2abc}{ab+ac+bc}

éppen az oldalak harmonikus közepének 2/3 része.

Statisztika:

93 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:78 versenyző.
3 pontot kapott:3 versenyző.
2 pontot kapott:1 versenyző.
1 pontot kapott:2 versenyző.
0 pontot kapott:8 versenyző.
Nem versenyszerű:1 dolgozat.

A KöMaL 2007. februári matematika feladatai