A B. 3983. feladat (2007. március)

B. 3983. Néhányan paintball-ütközetet vívnak egymással. Egy adott helyzetben a játékosok egymástól való távolsága mind különböző. Ekkor mindenki rálő a hozzá legközelebb álló emberre. Keresztezhetik-e egymást a golyók pályái?

(3 pont)

A beküldési határidő 2007. április 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Tegyük fel, hogy két golyó pályája keresztezi egymást az M pontban. Ez azt jelenti, hogy van egy ABCD konvex négyszög úgy, hogy az A csúcsban lévő játékos a C csúcsban lévőre, a B csúcsban lévő pedig a D csúcsban lévőre lő rá, M pedig az AC és BD átlók metszéspontja. Ekkor AD<AC és BC<BD, vagyis AD+BC<AC+BD. Másrészt a háromszög egyenlőtlenség miatt

AC+BD=(AM+MC)+(BM+MD)=(AM+MD)+(BM+MC)<AD+BC,

ami ellentmondás. A golyók pályái tehát nem keresztezhetik egymást.

Statisztika:

169 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	108 versenyző.
2 pontot kapott:	10 versenyző.
1 pontot kapott:	22 versenyző.
0 pontot kapott:	16 versenyző.
Nem versenyszerű:	13 dolgozat.

A KöMaL 2007. márciusi matematika feladatai