A B. 3984. feladat (2007. március)

B. 3984. Ha egy négyzetet hegyesszögű háromszögekre darabolunk, legalább hány rész keletkezik?

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. április 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Nyolc hegyesszőgű háromszögre fel lehet darabolni a négyzetet az ábrán látható módon. Itt E és F az AB, illetve CD oldalak felezőpontja, AEG és BEH olyan egyenlőszárú háromszögek, melyeknek A-nál, illetve B-nél lévő szárszöge 20^o. Ekkor a G pont az AD szakasz Thalesz-körén kívül esik, ezért az AGD háromszög és a vele egybevágó BHC háromszög is hegyesszögű. A DFG és CFH háromszögek nyilván hegyesszögűek, az EGH és FGH háromszögek pedig egyenlőszárú háromszögek.

Megmutatjuk, hogy nyolcnál kevesebb hegyesszögű háromszögre viszont nem lehet a négyzetet feldarabolni. Ha van a négyzetnek olyan belső pontja, amely csúcsa valamely háromszögnek, akkor egy ilyen pont legalább öt kis háromszögnek csúcsa. Ha két ilyen belső pont is van, akkor ezek körül már legalább tíz kis háromszöget találunk, melyek közül csak kettő tartozhat egyszerre mind a két belső ponthoz. Elég tehát csak azokat az eseteket vizsgálni, ahol legfeljebb egy ilyen belső pont van.

Legyen h a legnagyobb szám, amelyre igaz, hogy ha egy tompa- vagy derékszögű háromszöget hegyesszögű háromszögekre darabolunk, akkor legalább h rész keletkezik. Megmutatjuk, hogy h5. (Igazából h7 is igaz, de azt nehezebb megmutatni, és nekünk ennyi is elég lesz.) Vegyünk egy háromszöget, amelynek a felbontásához h hegyesszögű háromszög elegendő, és tekintsük annak egy h darab hegyesszögű háromszögre történő felbontását. Kell legyen egy olyan háromszögél, amely a nem hegyesszögű csúcsból indul, és végig a háromszög belsejében halad. A másik végpontja nem eshet a háromszög kerületére, mert akkor azt két háromszögre bontaná, amelyek közül az egyik nem hegyesszögű, és akkor már annak felbontásában lenne h kis háromszög. A másik végpont tehát belső pont, ami körül nyilván legalább öt kis háromszöget találunk.

A négyzet felbontására visszatérve, minden csúcsból kell induljon egy olyan háromszögél, amely végig a négyzet belsejében halad. Ha az egyik ilyen élnek másik végpontja a négyzet kerületére esik, akkor a négyzetet vagy két derékszögű háromszögre vágja fel, amikoris a felbontásban az előzők miatt legalább 10 kis háromszögnek kell szerepelni, vagy pedig egy derékszögű háromszögre, és egy olyan négyszögre osztja a négyzetet, amelynek csak egyetlen hegyesszöge van. Ebben a második esetben a derékszögű háromszögben legalább öt kis háromszög található a felbontásból, a négyszöghöz pedig nyilván nem lesz elég kettő darab.

Feltehetjük tehát, hogy a szóban forgó, a négyzet csúcsaiból kiinduló háromszögélek másik végpontja a négyzet belsejébe esik. Ekkor korábbi feltevésünk értelmében minden ilyen szakasz ugyanabban a pontban végződik. Ezáltal a négyzetet egy belső pontból 4 háromszögre bontottuk, melyek közül legalább az egyik nem hegyesszögű, vagyis benne a felbontásból legalább öt háromszög található. Tehát ebben az esetben is legalább nyolc rész keletkezett.

Statisztika:

59 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Aczél Gergely, Blázsik Zoltán, Cseh Ágnes, Cserép Máté, Éles András, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Kiss 243 Réka, Kunos Ádám, Márkus Bence, Mercz Béla, Nagy 648 Donát, Németh Bence, Orosz Ákos, Paripás Viktor, Sümegi Károly, Szabó 895 Dávid, Szikszay László, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Wolosz János.
4 pontot kapott:	Dinh Van Anh, Róka Péter, Sárkány Lőrinc, Szalóki Dávid.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	6 versenyző.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	5 dolgozat.

A KöMaL 2007. márciusi matematika feladatai