![]() |
A B. 4002. feladat (2007. május) |
B. 4002. Bizonyítsuk be, hogy minden n>1 egész számhoz található olyan egészekből álló sorozat, amelyre minden k esetén
osztható az
számmal.
(3 pont)
A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Tegyük fel, hogy rögzített n mellett az számokat már megtaláltuk úgy, hogy
,
és s<t. Ezt k=1 esetén nyilván meg tudjuk tenni, hiszen és n<n2. Az x=ak+1 számra teljesülnie kell az
oszthatóságnak. Mivel
, ez ekvivalens az
feltétellel, amit x=s2-s+t nyilván kielégít. Ekkor ak
s<t
x is teljesül, és nyilván s+x<t+x2 is. A rekurzív definíció elve alapján tehát létezik a kívánt tulajdonságokkal rendelkező sorozat.
Statisztika:
45 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Anda Roland, Aujeszky Tamás, Berecz Dénes, Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Dinh Van Anh, Dudás Zsolt, Fonyó Dávid, Fukker Gábor, Grósz Dániel, Herber Máté, Horváth 385 Vanda, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mercz Béla, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Pirkó Dániel, Réti Dávid, Rózsa Levente, Salát Zsófia, Tallián György, Tóth 796 Balázs, Udvari Benjámin, Véges Márton, Zelena Réka. 2 pontot kapott: Csaba Ákos, Dékány Tamás, Vincze Ákos. 1 pontot kapott: 4 versenyző. 0 pontot kapott: 1 versenyző. Nem versenyszerű: 3 dolgozat.
A KöMaL 2007. májusi matematika feladatai