A B. 4002. feladat (2007. május)

B. 4002. Bizonyítsuk be, hogy minden n>1 egész számhoz található olyan egészekből álló $a_1=n<a_2<a_3<\ldots$ sorozat, amelyre minden k esetén $a_1^2+\ldots+ a_k^2$ osztható az $a_1+\ldots+a_k$ számmal.

(3 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Tegyük fel, hogy rögzített n mellett az $a_1,a_2,\ldots, a_k$ számokat már megtaláltuk úgy, hogy $n=a_1<a_2<\ldots<a_k$ ,

$s=a_1+a_2+\ldots+a_k\mid a_1^2+a_2^2+\ldots+a_k^2=t$

és s<t. Ezt k=1 esetén nyilván meg tudjuk tenni, hiszen $n\mid n^2$ és n<n². Az x=a_k+1 számra teljesülnie kell az $x+s\mid x^2+t$ oszthatóságnak. Mivel $x+s\mid x^2-s^2$ , ez ekvivalens az $x+s\mid s^2+t$ feltétellel, amit x=s²-s+t nyilván kielégít. Ekkor a_k $\le$ s<t $\le$ x is teljesül, és nyilván s+x<t+x² is. A rekurzív definíció elve alapján tehát létezik a kívánt tulajdonságokkal rendelkező sorozat.

Statisztika:

45 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Anda Roland, Aujeszky Tamás, Berecz Dénes, Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Dinh Van Anh, Dudás Zsolt, Fonyó Dávid, Fukker Gábor, Grósz Dániel, Herber Máté, Horváth 385 Vanda, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mercz Béla, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Pirkó Dániel, Réti Dávid, Rózsa Levente, Salát Zsófia, Tallián György, Tóth 796 Balázs, Udvari Benjámin, Véges Márton, Zelena Réka.

2 pontot kapott: Csaba Ákos, Dékány Tamás, Vincze Ákos.

1 pontot kapott: 4 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

Nem versenyszerű: 3 dolgozat.

A KöMaL 2007. májusi matematika feladatai

45 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Anda Roland, Aujeszky Tamás, Berecz Dénes, Bodor Bertalan, Bogár 560 Péter, Dinh Van Anh, Dudás Zsolt, Fonyó Dávid, Fukker Gábor, Grósz Dániel, Herber Máté, Horváth 385 Vanda, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Ádám, Kunovszki Péter, Lovas Lia Izabella, Mercz Béla, Mihálykó Ágnes, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Pirkó Dániel, Réti Dávid, Rózsa Levente, Salát Zsófia, Tallián György, Tóth 796 Balázs, Udvari Benjámin, Véges Márton, Zelena Réka.
2 pontot kapott:	Csaba Ákos, Dékány Tamás, Vincze Ákos.
1 pontot kapott:	4 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?