A B. 4003. feladat (2007. május)

B. 4003. Adottak a síkon a pontok, amelyek közül semelyik három nem esik egy egyenesre. Mutassuk meg, hogy minden 1i2007-re páros sok olyan P_jP_kP_l háromszög létezik, amelynek P_i belső pontja.

Brit versenyfeladat

(5 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Oldjuk meg először a feladatot 2007 helyett 5 ponttal. Könnyen ellenőrizhetjük, hogy az 5 pont közül bármelyikre igaz, hogy a másik 4 pont által meghatározott 4 háromszög közül vagy 0, vagy 2, de mindenképpen páros sok háromszögnek lesz belső pontja.

Egy adott P_i pontra számoljuk össze az összes olyan (A,B) párt, ahol A és B a pontok egy-egy 3-, illetve 5-elemű részhalmaza, ahol P_iB, AB és P_i az A-beli pontok által meghatározott háromszög belsejébe esik. Mi az összes ilyen (A,B) párban fellelhető különböző A halmazok n számára vagyunk kíváncsiak. Minden ilyen A={P_j,P_k,P_l} halmazt pontosan 2003-féleképpen egészíthetünk ki egy megfelelő B halmazzá, vagyis a megfelelő (A,B) párok száma éppen 2003n. Másrészt az első észrevételünk szerint minden egyes P_i-t tartalmazó B halmaz páros sok ilyen (A,B) párban szerepel, tehát az összes (A,B) pár száma páros. Innen már látszik, hogy n is páros szám kell legyen.

Statisztika:

48 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Aczél Gergely, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Dékány Tamás, Dibuz Dániel, Dudás Zsolt, Éles András, Farkas Márton, Grósz Dániel, Herber Máté, Honner Balázs, Kardos Kinga Gabriela, Károlyi Gergely, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Mercz Béla, Mészáros András, Nagy 314 Dániel, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András, Páldy Sándor, Perjési Gábor, Sümegi Károly, Szabó 895 Dávid, Szalóki Dávid, Szőke Nóra, Szűcs Gergely, Tallián György, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Tóth 796 Balázs, Tóth Réka Judit, Varga 171 László, Véges Márton, Wagner Zsolt, Wolosz János, Zelena Réka.
4 pontot kapott:	Cseh Ágnes, Dinh Hoangthanh Attila, Godó Zita, Konkoly Csaba, Sárkány Lőrinc.
3 pontot kapott:	1 versenyző.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2007. májusi matematika feladatai