A B. 4007. feladat (2007. május)

B. 4007. Legyen A, B, C, D négy különböző pont a térben. A PQ szakaszt úgy ,,mozgatjuk'' át AB-ből DC-be, hogy eközben minden pillanatban P az AD szakasznak, Q pedig a BC szakasznak ugyanolyan arányú osztópontja. Ekkor a PQ szakasz egy felületet ír le. Bizonyítsuk be, hogy ugyanez a felület jön létre akkor is, ha egy RS szakaszt mozgatunk hasonlóképpen AD-ből BC-be.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. június 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen a 4 pont helyvektora a,b,c,d. Ha valamilyen 0x1 esetén a P=P_x pont az AD szakaszt x:(1-x) arányban osztja, akkor ennek helyvektora p_x=(1-x)a+xd, és ugyanakkor a Q=Q_x pont helyvektora q_x=(1-x)b+xc. A P_xQ_x szakaszt y:(1-y) arányban osztó Z_x,y pont helyvektora tehát

z_x,y=(1-y)p_x+yq_x=(1-x)(1-y)a+(1-x)yb+xyc+x(1-y)d,

vagyis így írhatók le az első felület pontjainak helyvektorai, ahol az x,y paraméterek értéke 0 és 1 között tetszőlegesen változik.

Hasonlóképpen az AB szakaszt y:(1-y) arányban osztó R=R_y és a DC szakaszt szintén y:(1-y) arányban osztó S=S_y pontok helyvektora rendre r_y=(1-y)a+yb és s_y=(1-y)d+yc, vagyis az R_yS_y szakaszt x:(1-x) arányban osztó W_y,x pont helyvektora

w_y,x=(1-x)r_y+xs_y=(1-x)(1-y)a+(1-x)yb+xyc+x(1-y)d,

így írhatók le a második felület pontjainak helyvektorai, ahol az x,y paraméterek értéke szintén 0 és 1 között tetszőlegesen változik.

Mivel minden 0x,y1 esetén z_x,y=w_y,x, valóban ugyanazok a pontok lesznek rajta mind a két felületen.

Statisztika:

32 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Almási 270 Gábor András, Aujeszky Tamás, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Csaba Ákos, Éles András, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Grósz Dániel, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Korom-Vellás Judit, Kunos Ádám, Lovas Lia Izabella, Nagy 314 Dániel, Peregi Tamás, Salát Zsófia, Sümegi Károly, Szalkai Balázs, Szűcs Gergely, Tossenberger Anna, Tóth 666 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton.
3 pontot kapott:	Bodor Bertalan, Nagy 648 Donát, Nagy-Baló András.
2 pontot kapott:	2 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2007. májusi matematika feladatai