A B. 4013. feladat (2007. szeptember)

B. 4013. Ki lehet-e színezni a pozitív racionális számokat pirossal és kékkel úgy, hogy piros és kék szám is keletkezzen, és

(a) a piros számok összege piros, a kék számok összege kék legyen;

(b) a piros számok szorzata piros, a kék számok szorzata kék legyen?

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Az első kérdésre a válasz tagadó. Ha az r szám piros, akkor 2r=r+r is az kell hogy legyen, és n szerinti teljes indukcióval látszik, hogy minden n pozitív egészre nr piros kell legyen. Ha pedig az r szám kék, akkor minden egész számú többszöröse szintén kék. Ha lenne egy p=a/b piros és egy k=c/d kék szám, ahol a,b,c,d pozitív egész, akkor emiatt az ac=(bc)p számnak egyrészt pirosnak, másrészt ac=(ad)k miatt kéknek kellene lennie, ami ellentmondás.

A második kérdésre igenlő választ ad a következő konstrukció. Ha az r racionális szám egyszerűsített alakjában a számláló páratlan, akkor legyen r piros, ellenkező esetben pedig kék. Két piros szám szorzatában egyszerűsítés után a számláló osztója lesz az eredeti számlálók szorzatának, tehát páratlan lesz, így a szorzat is piros lesz. Két kék szám szorzatában viszont a számláló biztos, hogy páros lesz, hiszen még az is igaz, hogy 4-gyel osztható lesz.

Statisztika:

209 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	78 versenyző.
3 pontot kapott:	16 versenyző.
2 pontot kapott:	59 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	38 versenyző.
Nem versenyszerű:	10 dolgozat.

A KöMaL 2007. szeptemberi matematika feladatai