 |
A B. 4015. feladat (2007. szeptember) |
B. 4015. Egy konvex négyszög átlói 45o-os szöget zárnak be. Állítsunk merőlegest a négyszög minden csúcsából a vele szomszédos két csúcsot összekötő átló egyenesére. Hogyan aránylik a merőlegesek talppontjai által alkotott négyszög területe az eredeti négyszög területéhez?
Javasolta: Bodnár János (Budapest)
(3 pont)
A beküldési határidő 2007. október 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Legyen az átlók metszéspontja O, a négyszög csúcsai valamilyen körüljárás szerint A,B,C,D. A jelölést válasszuk úgy, hogy az AOB szög 45o-os legyen. A merőlegesek talppontjait jelölje értelemszerűen A',B',C',D'. Ezek a pontok rendre az OB,OA,OD,OC félegyeneseken helyezkednek el úgy, hogy minden esetben .
Mindkét négyszöget az átlói négy kis háromszögre bontanak fel, melyek páronként hasonlók egymáshoz. Nevezetesen, ha X és Y nem átellenes csúcsok, akkor az X'OY' háromszög hasonló az XOY háromszöghöz, a hasonlóság aránya , tehát az előbbi háromszög területe fele az utóbbiénak. Mindezek alapján az A'B'C'D' négyszög területe is feleakkora, mint az ABCD négyszögé.
Statisztika:
160 dolgozat érkezett. 3 pontot kapott: 98 versenyző. 2 pontot kapott: 28 versenyző. 1 pontot kapott: 23 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző.
A KöMaL 2007. szeptemberi matematika feladatai