A B. 4033. feladat (2007. november)

B. 4033. Egy tánctanfolyamra csak házaspárok iratkoztak be. Valaki megfigyelte, hogy minden házaspár két tagjának magassága közötti különbség legfeljebb 10 cm. A tánctanár magasság szerint növekvő sorrendbe állítja külön a férfiakat és a nőket. A táncospárok ennek alapján jönnek létre: a legmagasabb nő a legmagasabb férfival táncol, és így tovább. Igazoljuk, hogy bármely táncospár tagjainak magassága között szintén legfeljebb 10 cm a különbség.

(4 pont)

A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyenek a táncospárok (N_i,F_i), ahol 1 $\le$ i $\le$ $\ell$ , az N_i nő magassága cm-ekben mérve n_i, az F_i férfié f_i, továbbá $n_1\le n_2\le \ldots\le n_\ell$ és $f_1\le f_2\le \ldots\le f_\ell$ .

Tegyük fel, hogy az állítás nem igaz, ekkor van olyan 1 $\le$ i $\le$ $\ell$ , amelyre n_i<f_i-10 vagy f_i<n_i-10. Szimmetria okok miatt elég az első esettel foglalkoznunk. Ekkor minden 1 $\le$ j $\le$ i $\le$ k $\le$ $\ell$ esetén n_j $\le$ n_i<f_i-10 $\le$ f_k-10, vagyis F_k nem lehet az N_j házastársa. Tehát az $N_1,\ldots, N_i$ nők házastársa az $F_1,\ldots,F_{i-1}$ férfiak között keresendő, ami a skatulya-elv miatt nem lehetséges; indirekt feltevésünk ellentmondásra vezetett.

Statisztika:

149 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 96 versenyző.

3 pontot kapott: 4 versenyző.

2 pontot kapott: 11 versenyző.

1 pontot kapott: 9 versenyző.

0 pontot kapott: 27 versenyző.

Nem versenyszerű: 2 dolgozat.

A KöMaL 2007. novemberi matematika feladatai

149 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	96 versenyző.
3 pontot kapott:	4 versenyző.
2 pontot kapott:	11 versenyző.
1 pontot kapott:	9 versenyző.
0 pontot kapott:	27 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?