 |
A B. 4039. feladat (2007. november) |
B. 4039. Andi és Bandi felváltva írnak 0 vagy 1 számjegyeket balról jobbra haladva. Andi kezd egy 1-es számjegy leírásával. A játék akkor ér véget, amikor már leírtak fejenként pontosan 2007 számjegyet. A kapott 0--1 sorozatot kettes számrendszerben felírt számként olvassák ki. Andi nyer, ha a kapott szám két négyzetszám összege, Bandi nyer, ha nem az. Kinek van nyerő stratégiája?
(4 pont)
A beküldési határidő 2007. december 17-én LEJÁRT.
Megoldás: Bandinak van nyerő stratégiája. Ha ugyanis mindig ugyanazt a számjegyet írja le, amit Andi éppen előzőleg leírt, akkor valamilyen 0
m2006 egész számra a sorozat utolsó 2m számjegye 0 lesz, ami előtt közvetlenül 2 darab 1-es számjegy áll. A kiolvasott n szám tehát 4mk alakban írható fel, ahol k 4-gyel osztva 3 maradékot ad. Tegyük fel, hogy alkalmas a,b egész számokkal n=a2+b2. Páratlan szám négyzete 4-gyel osztva 1 maradékot ad, páros szám négyzete pedig osztható 4-gyel. Ha m>0, akkor ezek szerint a és b is páros kell legyen, vagyis az a1=a/2, b1=b/2 egész számokkal a12+b12=n/4=4m-1k. Ezt ismételgetve azt kapjuk, hogy szükségképpen am=a/2m és bm=b/2m olyan egész számok, amelyekre am2+bm2=k; ez a megállapítás m=0 esetén is érvényes. Mivel két négyzetszám összege nem adhat 4-gyel osztva 3 maradékot, mindenképpen elentmondásra jutunk, vagyis n nem lehet két négyzetszám összege, tehát a megadott stratégiát követve Bandi megnyeri a játékot.
Statisztika:
61 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Angyal Levente, Bálint Dániel, Bartha Zsolt, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Dinh Van Anh, Éles András, Énekes Péter, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gévay Gábor, Gőgös Balázs, Horváth 385 Vanda, Károlyi Gergely, Kiss 243 Réka, Kiss 716 Eszter, Kiss 902 Melinda Flóra, Konkoly 001 Csaba, Kovács 729 Gergely, Lenger Dániel, Márkus Bence, Mészáros András, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Wang Daqian. 3 pontot kapott: Csere Kálmán, Kovács 999 Noémi, Müller Márk. 2 pontot kapott: 3 versenyző. 1 pontot kapott: 7 versenyző. 0 pontot kapott: 12 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2007. novemberi matematika feladatai