A B. 4042. feladat (2007. december)

B. 4042. Egy 2007×2008-as sakktáblát egyrétegűen lefedtünk néhány 2×2-es és 1×4-es dominóval. A fölhasznált készlet egy 2×2-es dominóját 1×4-esre cseréljük. Bizonyítsuk be, hogy az új készlettel nem fedhető le a sakktábla.

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Színezzük feketére a sakktábla minden második sorának minden második mezőjét, a többi maradjon fehér. A sakktábla bármely lefedésében minden egyes dominó 4 teljes mezőt fed le. Egy 2×2-es dominó pontosan 1 fekete és 3 fehér mezőt fed le, míg egy 1×4-es dominó által lefedett mezők közül 0 vagy 2, tehát páros számú lesz fekete. Minthogy 2008 osztható 4-gyel, a fekete mezők száma páros, tehát bármely lefedéshez páros számú 2×2-es dominó szükséges. Az új készletben azonban a 2×2-es dominók száma páratlan.

Statisztika:

138 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	74 versenyző.
3 pontot kapott:	8 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	35 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.
Nem versenyszerű:	1 dolgozat.

A KöMaL 2007. decemberi matematika feladatai