Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4044. feladat (2007. december)

B. 4044. Mutassuk meg, hogy egy szabályos sokszög belsejében fekvő pontnak az oldalegyenesektől mért távolságainak átlaga a beírt kör sugarával egyenlő.

(3 pont)

A beküldési határidő 2008. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen a sokszög oldala a, a beírt kör sugara r, a pontnak az oldalegyenesektől mért távolságai pedig $h_1,h_2,\ldots,h_n$ . Ha az adott pontot a csúcsokkal összekötjük, akkor n darab kis háromszög keletkezik. Mindegyiknek az egyik oldala a, az ehhez az oldalhoz tartozó magasságok pedig rendre $h_1,h_2,\ldots,h_n$ . A háromszögek területének összege megegyezik a sokszög területével, vagyis a terület kétszerese $2T=ah_1+ah_2+\ldots+ah_n$ alakba írható. Ha a beírt kör középpontját kötjük össze a csúcsokkal, akkor ugyanezzel a gondolattal a 2T=nar összefüggésre jutunk, ahonnan

$ah_1+ah_2+\ldots+ah_n=nar$

adódik, ezt an-nel leosztva kapjuk a bizonyítandó állítást.

Statisztika:

156 dolgozat érkezett.

3 pontot kapott: 122 versenyző.

2 pontot kapott: 8 versenyző.

1 pontot kapott: 13 versenyző.

0 pontot kapott: 13 versenyző.

A KöMaL 2007. decemberi matematika feladatai

156 dolgozat érkezett.
3 pontot kapott:	122 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	13 versenyző.
0 pontot kapott:	13 versenyző.