Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4051. feladat (2007. december)

B. 4051. Igazoljuk, hogy tetszőleges n pozitív egész esetén $\underbrace{111\ldots1}_{\textstyle 5^n}$ minden osztója 1-esre végződik.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. január 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Elég megmutatni, hogy a szám minden prímosztója 1-esre végződik. Ha a p prímszám osztója az N=(10^5ⁿ-1)/9 számnak, akkor $10^{5^n}\equiv 1\pmod{p}$ . Ha k a legkisebb pozitív egész, amelyre $10^k\equiv 1\pmod{p}$ , akkor ezek szerint $k\mid 5^n$ . Mivel N számjegyeinek összege, 5ⁿ nem osztható 3-mal, p=3 nem lehetséges, ezért k>1, vagyis $5\mid k$ . A kis Fermat tétel szerint $10^{p-1}\equiv 1\pmod{p}$ , hiszen p relatív prím 10-hez, ezért $k\mid p-1$ , vagyis p-1 osztható 5-tel. Mivel p páratlan, p-1 osztható 2-vel, és így 10-zel is, ami az állítást igazolja.

Statisztika:

17 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Éles András, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton.

4 pontot kapott: Bartha Zsolt, Fonyó Dávid, Szabó 895 Dávid, Tóth 369 László Márton, Zieger Milán.

0 pontot kapott: 2 versenyző.

A KöMaL 2007. decemberi matematika feladatai

17 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Éles András, Márkus Bence, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton.
4 pontot kapott:	Bartha Zsolt, Fonyó Dávid, Szabó 895 Dávid, Tóth 369 László Márton, Zieger Milán.
0 pontot kapott:	2 versenyző.