A B. 4053. feladat (2008. január)

B. 4053. Az $a_1, a_2, \ldots$ egész számokból álló sorozatnak végtelen sok pozitív és végtelen sok negatív eleme is van, továbbá minden n-re teljesül, hogy $a_1, a_2, \ldots, a_n$ páronként különböző maradékot adnak n-nel osztva. Hányszor szerepel a sorozatban a 2008?

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. február 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Ha valamely i<j esetén a_i=a_j, akkor n $\ge$ j esetén nem teljesül a feltétel, tehát minden egész szám legfeljebb egyszer szerepelhet a sorozatban. Ha az $a_1,a_2,\ldots,a_k$ számok között van kettő, melyek különbsége a_j-a_i=n $\ge$ k, akkor a feltétel megintcsak nem teljesül. Az eddig elmondottakból világos, hogy minden k-ra teljesül, hogy az $\{a_1,a_2,\ldots,a_k\}$ halmaz k egymást követő egész számból áll. Mivel a sorozat végtelen sok (mint láttuk különböző) pozitív egészt tartalmaz, kell legyen ezek között olyan, melyre a_i $\ge$ 2008. A sorozatnak van ezen kívül egy a_n negatív eleme is, ahol n>i. Az $\{a_1,a_2,\ldots,a_n\}$ halmazban ezek szerint a 2008 számnak mindenképpen szerepelnie kell, vagyis az a sorozatban pontosan egyszer szerepel (és ez 2008 helyett bármely egész számról elmondható).

Statisztika:

56 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Éles András, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Kalina Kende, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kiss 716 Eszter, Kovács 999 Noémi, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Zieger Milán.

3 pontot kapott: Aczél Gergely, Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Nguyen Milán, Palincza Richárd, Szabó 895 Dávid.

2 pontot kapott: 15 versenyző.

1 pontot kapott: 11 versenyző.

0 pontot kapott: 3 versenyző.

A KöMaL 2008. januári matematika feladatai

56 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Bodor Bertalan, Éles András, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Kalina Kende, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kiss 716 Eszter, Kovács 999 Noémi, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Szőke Nóra, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Tubak Dániel, Varga 171 László, Véges Márton, Zieger Milán.
3 pontot kapott:	Aczél Gergely, Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Nguyen Milán, Palincza Richárd, Szabó 895 Dávid.
2 pontot kapott:	15 versenyző.
1 pontot kapott:	11 versenyző.
0 pontot kapott:	3 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?