A B. 4068. feladat (2008. február)

B. 4068. Legyenek A, B, C, a, b, c pozitív egész számok, a^.b^.c>1. Igazoljuk, hogy létezik olyan n pozitív egész, amelyre

A^.aⁿ+B^.bⁿ+C^.cⁿ

összetett szám.

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. március 17-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen p az egynél nagyobb Aa+Bb+Cc szám egy (pozitív) prímosztója. Mivel a kis Fermat-tétel értelmében minden k egész számra teljesül, hogy $k^p\equiv k\pmod{p}$ , felírhatjuk, hogy

$N=Aa^p+Bb^p+Cc^p\equiv Aa+Bb+Cc\equiv0\pmod{p},$

vagyis N osztható p-vel. Másrészt a feltétel miatt az a,b,c számok valamelyike 1-nél nagyobb, amiértis N>Aa+Bb+Cc $\ge$ p. Az n=p választás mellett tehát Aaⁿ+Bbⁿ+Ccⁿ összetett szám lesz.

Statisztika:

40 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Bálint Dániel, Bartha 002 Zsolt, Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Éles András, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 542 Robin, Kiss 902 Melinda Flóra, Konkoly 001 Csaba, Kovács 999 Noémi, Lenger Dániel, Márkus Bence, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Wang Daqian, Weisz Ágoston, Zelena Réka.

3 pontot kapott: Dudás 002 Zsolt, Gele Viktória, Kalina Kende, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Zieger Milán.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2008. februári matematika feladatai

40 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Bálint Dániel, Bartha 002 Zsolt, Bodor Bertalan, Dinh Hoangthanh Attila, Éles András, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Grósz Dániel, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kiss 542 Robin, Kiss 902 Melinda Flóra, Konkoly 001 Csaba, Kovács 999 Noémi, Lenger Dániel, Márkus Bence, Mezei Márk, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Wang Daqian, Weisz Ágoston, Zelena Réka.
3 pontot kapott:	Dudás 002 Zsolt, Gele Viktória, Kalina Kende, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Zieger Milán.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?