Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány
Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4071. feladat (2008. február)

B. 4071. Bizonyítsuk be, hogy minden pozitív n egész számra

\min_{k \in \mathbb{N}} \left[k + \frac{n}{k}\right] = \big[\sqrt{4n + 1}\,\big].

Javasolta: Blahota István

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. március 17-én LEJÁRT.

Megoldás: Legyen [\sqrt{n}]=m, ekkor m\le \sqrt{n}<m+1, m2\len<m2+2m+1. Ha k,\ell természetes számok, akkor

\Bigl(k+\frac{n}{k}\Bigr)-\Bigl(\ell+\frac{n}{\ell}\Bigr)= \frac{(k-\ell)(k\ell-n)}{k\ell}\le 0,

feltéve, hogy \ell\le k=m\le \sqrt{n} vagy \ell\ge k=m+1> \sqrt{n}. Innen rögtön következik, hogy

\min_{k \in \mathbb{N}} \left[k + \frac{n}{k}\right] = \min\Bigl\{ m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr],m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]\Bigr\}.

Ha m2\len\lem2+m-1, akkor

(2m)2+1\le4n+1\le(2m+1)2-4,

vagyis [4n+1]=2m. Továbbá m\le \frac{n}{m}<m+1 és m-1<\frac{n}{m+1}<m miatt

m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr]=m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]=2m,

tehát az egyenlőség ez esetben teljesül. Ha pedig m2+m\len\lem2+2m, akkor egyrészt

(2m+1)2\le4n+1\le(2m+2)2-3,

vagyis [4n+1]=2m+1, másrészt m+1\le \frac{n}{m}\le m+2 és m\le \frac{n}{m+1}<m+1 miatt

m+1+\Bigl[\frac{n}{m+1}\Bigr]=2m+1\le m +\Bigl[\frac{n}{m}\Bigr]\le 2m+2,

tehát az egyenlőség ebben az esetben is teljesül.

Statisztika:

32 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:Aujeszky Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Énekes Péter, Kiss 243 Réka, Márkus Bence, Mihálykó Ágnes, Nagy 648 Donát, Somogyi Ákos, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Varga 171 László, Véges Márton, Weisz Ágoston.
3 pontot kapott:Huszár Kristóf, Kovács 729 Gergely, Strenner Péter.
2 pontot kapott:4 versenyző.
1 pontot kapott:5 versenyző.
0 pontot kapott:6 versenyző.

A KöMaL 2008. februári matematika feladatai