A B. 4086. feladat (2008. április)

B. 4086. A gömbfelületen egymástól függetlenül véletlenszerűen kiválasztunk négy pontot. Mi annak a valószínűsége, hogy az általuk meghatározott tetraéder tartalmazza a gömb középpontját?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A szóban forgó valószínűség precíz mértékelméleti megfogalmazása messze túlmenne a középiskolás anyag keretein, erre itt nem vállalkozhatunk, és megoldóinktól sem várjuk el, hogy ezt megtegyék. Csupán a megfelelő szemlélet alapján elvárható gondolatot ismertetjük, megjegyezve, hogy az itt leírtak jogossága magasabb matematikai eszközökkel igazolható lenne.

Jelöljünk ki a gömbfelületen egy A pontot, melyet tekintsünk rögzítettnek. Válasz-szunk ki ezután a gömbfelületen egymástól függetlenül véletlenszerűen három pontot. A keresett valószínűség megegyezik annak a valószínűségével, hogy ezen három pont és az A pont által meghatározott tetraéder tartalmazza a gömb középpontját. Mivel annak 0 a valószínűsége, hogy a négy pont közül kettő egybeessen, ezektől az esetekől eltekinthetünk, akárcsak attól, hogy a három kiválasztott pontra illeszkedő sík áthalad a gömb középpontján. Ha X,Y,Z három ilyen módon választott pont, akkor az AXYZ tetraéder pontosan akkor tartalmazza a gömb O középpontját, ha az OA' szakasz átmetszi az XYZ háromszöget, ahol A' az A pontnak O-ra vonatkozó tükörképe.

A megmaradt hármasokat nyolcas csoportokba oszthatjuk a következő módon. Vegyünk fel három átellenes pontpárt - legyenek ezek (B,B'), (C,C'), (D,D') - úgy, hogy egyik pont sem esik egybe A-val és a BCD sík nem halad át a gömb középpontján. Az így kapott hat pont konvex burka egy olyan oktaéder lesz, amely szimmetrikus a gömb középpontjára, párhuzamos lappárjai pedig (BCD,B'C'D'), (B'CD,BC'D'), (BC'D,B'CD') és (BCD',B'C'D). Bármelyik lap csúcsai szóba jöhetnek, mint a három kiválasztandó pont, és minden szóba jövő ponthármas megfelel pontosan egy ilyen módon elképzelt oktaéder egyik lapjának. A gondolat, melyet nem precizírozunk, a következő: a három pont véletlenszerű kiválasztását megtehetjük úgy, hogy először véletlenszerűen választunk három átellenes pontpárt, majd ezután minden egyes pontpárból 1/2-1/2 valószínűséggel kiválasztjuk valamelyik pontot. Más szóval először véletlenszerűen választunk egy megfelelő oktédert, majd ezután egyforma, egyenként 1/8 valószínűséggel annak valamelyik lapját, melynek csúcsai alkotják a kiválasztott ponthármast.

Tekintsünk egy megfelelő oktaédert. Az A pontot a gömb O középpontjával összekötő egyenes az oktaéder két egymással párhuzamos lapját metszi át, a többit elkerüli. A szimmetria miatt e két párhuzamos lap egyikét átmetszi az OA' szakasz, a másikat pedig nem. Ezért az adott oktaéderhez tartozó nyolc ponthármas közül pontosan egy lesz megfelelő. Mivel ez bármelyik oktaéderre elmondható, érvelésünk alapján a keresett valószínűség 1/8.

Statisztika:

18 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Bálint Dániel, Bartha Zsolt, Blázsik Zoltán, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Nagy 648 Donát, Papp Ádám, Salát Zsófia, Szabó 895 Dávid, Tossenberger Anna, Tubak Dániel, Varga 171 László.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2008. áprilisi matematika feladatai