Középiskolai Matematikai és Fizikai Lapok
Informatika rovattal
Kiadja a MATFUND Alapítvány

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?

A B. 4089. feladat (2008. április)

B. 4089. Oldjuk meg az

x⁴-7x³+13x²-7x+1=0

egyenletet.

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. május 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Mivel az egyenletnek x=0 nem gyöke, ekvivalens átalakítást hajtunk végre, ha x²-tel elosztjuk. Az $y=x+\frac{1}{x}$ helyettesítéssel ezt y²-7y+11=0 alakra hozhatjuk, amelynek megoldásai $y_{1,2}=\frac{7\pm\sqrt{5}}{2}$ . Ezért az eredeti egyenlet megoldásait az x²-y₁x+1=0 és az x²-y₂x+1=0 egyenletek megoldásai szolgáltatják. Mivel y_i>2, mindkét egyenletnek két különböző valós gyöke van, nevezetesen

$x_{1,2}=\frac{7+\sqrt{5}\pm\sqrt{38+14\sqrt{5}}}{4},\quad\hbox{\rm illetve} \quad x_{3,4}=\frac{7-\sqrt{5}\pm\sqrt{38-14\sqrt{5}}}{4}.$

Statisztika:

148 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: 109 versenyző.

3 pontot kapott: 33 versenyző.

2 pontot kapott: 4 versenyző.

1 pontot kapott: 1 versenyző.

0 pontot kapott: 1 versenyző.

A KöMaL 2008. áprilisi matematika feladatai

148 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	109 versenyző.
3 pontot kapott:	33 versenyző.
2 pontot kapott:	4 versenyző.
1 pontot kapott:	1 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.