A B. 4094. feladat (2008. május)

B. 4094. Ki tudunk-e hagyni úgy egyet az $1, 2, \ldots, 2008$ számok közül, hogy a fennmaradó 2007 darab számnak legyen olyan $a_1, a_2, \ldots, a_{2007}$ sorrendje, amelyben az ${|a_1-a_2|}, {|a_2-a_3|}, \ldots, {|a_{2006}-a_{2007}|}, {|a_{2007}-a_1|}$ eltérések mind különbözőek?

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.

Megoldás: Megmutatjuk, hogy minden n=4k esetén az $1, 2, \ldots, 4k$ számok közül a k+1 elhagyása után fennmaradó n-1 számnak lesz olyan $a_1, a_2, \ldots, a_{n-1}$ sorrendje, amelyben az $|a_1-a_2|, |a_2-a_3|, \ldots, |a_{n-2}-a_{n-1}|, |a_{n-1}-a_1|$ eltérések mind különbözőek. Valóban, tekintsük a számoknak az alábbi sorrendjét:

$1,4k,2,4k-1,\ldots k,3k+1, k+2,3k,k+3,3k-1,\ldots,2k,2k+2,2k+1,$

vagyis legyen 1 $\le$ i $\le$ k esetén a_2i-1=i, k+1 $\le$ i $\le$ 2k esetén legyen a_2i-1=i+1, végül 1 $\le$ i $\le$ 2k-1 esetén legyen a_2i=4k+1-i. Ekkor 1 $\le$ i $\le$ 2k-1 esetén |a_i-a_i+1|=4k-i, vagyis sorban a $4k-1,4k-2,\ldots,2k+1$ eltéréseket kapjuk, 2k $\le$ i $\le$ 4k-2 esetén |a_i-a_i+1|=4k-i-1, vagyis sorban a $2k-1,2k-2,\ldots,1$ eltéréseket kapjuk, végül |a_4k-1-a₁|=2k, ami tényleg 4k-1 darab különböző eltérést jelent.

Statisztika:

34 dolgozat érkezett.

4 pontot kapott: Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 729 Gergely, Lajos Mátyás, Márki Róbert, Mezei Márk, Nagy 111 Miklós, Paripás Viktor, Perjési Gábor, Salát Zsófia, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Vuchetich Bálint.

3 pontot kapott: Nagy 648 Donát.

2 pontot kapott: 1 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 7 versenyző.

A KöMaL 2008. májusi matematika feladatai

34 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Bodor Bertalan, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Éles András, Fonyó Dávid, Grósz Dániel, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 729 Gergely, Lajos Mátyás, Márki Róbert, Mezei Márk, Nagy 111 Miklós, Paripás Viktor, Perjési Gábor, Salát Zsófia, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Vuchetich Bálint.
3 pontot kapott:	Nagy 648 Donát.
2 pontot kapott:	1 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	7 versenyző.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?