![]() |
A B. 4095. feladat (2008. május) |
B. 4095. Adott a térbeli derékszögű koordinátarendszerben végtelen sok olyan tengelypárhuzamos téglatest, amelyek egyik csúcsa az origó, és minden csúcs koordinátái nemnegatív egész számok. Kiválasztható-e biztosan közülük kettő, amelyek közül az egyik tartalmazza a másikat?
Javasolta: Maga Péter
(5 pont)
A beküldési határidő 2008. június 16-án LEJÁRT.
Megoldás: Azt állítjuk, hogy egy egész végtelen sorozatot ki lehet választani úgy, hogy közülük bármelyik tartalmazza az összes megelőzőt. Ennek bizonyítása az alábbi észrevételen múlik: nemnegatív egész számok egy tetszőleges sorozatából kiválasztható egy
részsorozat úgy, hogy
teljesüljön. Ha a sorozatban van végtelen sok megegyező elem, akkor ez nyilvánvaló. Egyébként tegyük fel, hogy már kiválasztottunk egy véges
részsorozatot úgy, hogy
. Mivel feltevésünk értelmében a
számok között csak véges sok olyan lehet, amelyik nem nagyobb kin-nél, léteznie kell olyan in+1>in indexnek, amelyre kin+1>kin, vagyis a részsorozat folytatható.
Legyenek most adva tengelypárhuzamos téglatestek, amelyek egyik csúcsa az origó, és minden csúcs koordinátái nemnegatív egész számok. A Ti téglatest egyértelműen megadható az origóval szemközti csúcsával, melynek koordinátái legyenek (xi,yi,zi). Itt xi,yi,zi tehát nemnegatív egész számok. Ti pontosan akkor tartalmazza Tj-t, ha xi
xj, yi
yj és zi
zj egyszerre teljesül. A fenti észrevétel értelmében létezik egy olyan
indexsorozat, melyre
teljesül. Ebből az indexsorozatból kiválasztható egy olyan
indexsorozat, amelyre
is teljesül. Végül ebből kiválaszthatunk egy
indexsorozatot, amelyre
is fennáll. Ekkor pedig a téglák
részsorozatára teljesülni fog bármely i<j esetén, hogy xci
xcj, yci
ycj és zci
zcj, vagyis a Tcj téglatest tartalmazza a Tci téglát.
Statisztika:
56 dolgozat érkezett. 5 pontot kapott: Aczél Gergely, Ágoston Tamás, Aujeszky Tamás, Bálint Dániel, Bencs 111 Ferenc, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Cséke Balázs, Deák Zsolt, Dinh Hoangthanh Attila, Dudás 002 Zsolt, Éles András, Énekes Péter, Farkas Márton, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gévay Gábor, Gőgös Balázs, Grósz Dániel, Hursán Zsófia, Keresztfalvi Tibor, Kiss 243 Réka, Kiss 902 Melinda Flóra, Kovács 999 Noémi, Márkus Bence, Mészáros András, Nagy 648 Donát, Orosz Ákos, Perjési Gábor, Prok Tamás, Réti Dávid, Somogyi Ákos, Szabó 895 Dávid, Szalkai Balázs, Tossenberger Anna, Tóth 369 László Márton, Varga 171 László, Véges Márton, Zieger Milán. 4 pontot kapott: Wang Daqian. 3 pontot kapott: 1 versenyző. 2 pontot kapott: 2 versenyző. 1 pontot kapott: 2 versenyző. 0 pontot kapott: 11 versenyző.
A KöMaL 2008. májusi matematika feladatai