A B. 4111. feladat (2008. szeptember)

B. 4111. Legyen n pozitív egész szám, a₁,a₂,...,a_n pedig páronként különböző egész számok. Igazoljuk, hogy az polinom nem áll elő két legalább elsőfokú egész együtthatós polinom szorzataként.

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. október 15-én LEJÁRT.

Megoldás: Tegyük fel, hogy az állítással ellentétben léteznek olyan p,q legalább elsőfokú egész együtthatós polinomok, melyekre

Ekkor minden 1in esetén p(a_i)^.q(a_i)=-1. Mivel p(a_i) és q(a_i) egész számok, ez azt jelenti, hogy közülük az egyik 1-gyel, a másik pedig -1-gyel egyenlő. Mindenképpen igaz tehát, hogy p(a_i)+q(a_i)=0. Mivel p és q foka is legfeljebb n-1, p+q olyan legfeljebb (n-1)-edfokú polinom, amelynek van n darab különböző gyöke. Ez csak úgy lehet, hogy p+q=0, vagyis q=-p, f=-p². Ez azonban nem lehetséges, hiszen f főegyütthatója 1, a -p² polinomé pedig nyilván negatív.

Statisztika:

42 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Csizmadia Luca, Csuka Barna, Éles András, Fonyó Dávid, Gévay Gábor, Horowitz Gábor, Huszár Kristóf, Kispéter Tamás, Lovas Lia Izabella, Márki Róbert, Mester Márton, Nagy 648 Donát, Réti Dávid, Varga 171 László, Vuchetich Bálint, Weisz Ágoston.
4 pontot kapott:	Kovács 125 András, Nagy 111 Miklós.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
2 pontot kapott:	9 versenyző.
1 pontot kapott:	8 versenyző.
0 pontot kapott:	1 versenyző.

A KöMaL 2008. szeptemberi matematika feladatai