A B. 4115. feladat (2008. október)

B. 4115. Mely k pozitív egész esetén fordul elő az 1 az (a_n) sorozat elemei között, ha a₁=k, és , ha a_n páros, illetve a_n+1=a_n+5, ha a_n páratlan?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. november 17-én LEJÁRT.

Megoldás: A képzési szabály szerint a sorozat minden eleme pozitív egész szám, és vagy minden elem osztható 5-tel, vagy egyik sem. Így ha k osztható 5-tel, akkor a sorozat elemei között az 1 nem fordulhat elő. Megmutatjuk, hogy minden más esetben viszont előfordul. Tegyük fel tehát, hogy a sorozat egyik eleme sem osztható 5-tel. Ha a_n páros, akkor a_n+1=a_n/2<a_n, ha pedig páratlan, akkor a_n+2=(a_n+5)/2<a_n, feltéve, hogy a_n>5. Mivel a_n=5 most nem lehet, ez azt mutatja, hogy a sorozat minden 4-nél nagyobb eleme után található a sorozatban egy nála kisebb elem. Ez pedig azt jelenti, hogy előbb vagy utóbb a sorozatban megjelenik egy olyan a_n elem, amelyre a_n4. Ha a_n=1, akkor készen vagyunk, ha a_n=2, akkor a_n+1=1, ha a_n=4, akkor a_n+2=1, ha pedig a_n=3, akkor a_n+4=1.

Statisztika:

159 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	77 versenyző.
4 pontot kapott:	25 versenyző.
3 pontot kapott:	12 versenyző.
2 pontot kapott:	8 versenyző.
1 pontot kapott:	22 versenyző.
0 pontot kapott:	15 versenyző.

A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai