 |
A B. 4116. feladat (2008. október) |
B. 4116. Oldjuk meg minden n pozitív egész szám esetén a
cosnx-sinnx=1
egyenletet.
(4 pont)
A beküldési határidő 2008. november 17-én LEJÁRT.
Megoldás: Ha n páros, akkor cosnx
1, sinnx
0 miatt az egyenlőség csak cosnx=1, sinnx=0 esetén teljesülhet, vagyis sin x=0, tehát x=k
alkalmas k egész számmal, és ezek valóban megoldást adnak. Páratlan n esetén megoldást kapunk, ha cos x=1, vagyis x=2k alakú, valamint akkor is, ha sin x=-1, vagyis x=2k-/2. Megmutatjuk, hogy ezeken kívül nincs más megoldás. Ha n=1, akkor az egyenletet négyzetre emelve cos2x-2sin xcos x+sin2x=1. Ezt a trigonometrikus Pithagorasz tétellel összevetve kapjuk, hogy sin xcos x=0. Ha sin x=0, akkor cos x=1, ha cos x=0 akkor sin x=-1 kell legyen.
Legyen végül n3 páratlan szám. A b=-sin x jelöléssel az egyenlet cosnx=1-bn, a trigonometrikus Pithagorasz tétel pedig cos2x=1-b2 alakba írható, ahonnan cos2nx értékét kétféleképpen kifejezve (1-bn)2=(1-b2)n adódik. Itt b=0, illetve b=1 esetén teljesül az egyenlőség, amiből a már ismert megoldásokat kapjuk. Ha b<0, akkor (1-bn)2>1>(1-b2)n, ha pedig 0<b<1, akkor kétszer felhasználva, hogy 0<t<1 esetén t2>tn kapjuk, hogy (1-bn)2>(1-b2)2>(1-b2)n.
Statisztika:
112 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: 56 versenyző. 3 pontot kapott: 9 versenyző. 2 pontot kapott: 24 versenyző. 1 pontot kapott: 19 versenyző. 0 pontot kapott: 4 versenyző.
A KöMaL 2008. októberi matematika feladatai