A B. 4122. feladat (2008. november)

B. 4122. Egy egységnégyzetekből álló 5×5-ös sakktábla mezői közül 7 piros, 18 kék. A piros mezők közül kettő a tábla szélén helyezkedik el. Azokat a szakaszokat, amelyek két szomszédos piros mezőt választanak el, szintén pirosra színezzük. A két szomszédos kék mezőt elválasztó szakaszokat pedig kékre színezzük. A többi szakasz, beleértve a tábla szélét is, fekete. Így összesen 35 fekete vonal keletkezik. Mennyi a piros szakaszok száma?

(4 pont)

A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A 35 fekete vonalból 20 esik a tábla szélére, 15 a belsejébe. Az utóbbiak közül mindegyiknek egyik oldalán piros, másik oldalán kék mező van. A 7 piros mezőnek összesen 28 éle van, melyek mindegyike vagy piros, vagy fekete. Mivel a tábla szélén két piros mező van, a tábla szélén lévő 20 fekete vonalból legfeljebb 4 lehet piros mezőnek éle. A további 15 fekete vonallal együtt így a szóban forgó 28 él közül legfeljebb 19 lesz fekete, vagyis legalább 9 piros. Mivel minden piros szakasz pontosan 2 piros mezőnek éle, a piros szakaszok száma legalább 5.

A 18 kék mezőnek összesen 72 éle van, melyek mindegyike vagy kék, vagy fekete. A tábla szélén lévő 20 fekete vonalból legalább 2 piros mezőnek éle, tehát legfeljebb 18 tartozhat kék mezőhöz. A további 15 fekete vonallal együtt ez legfeljebb 33 fekete él, vagyis a kék élek száma legalább 39. Mivel minden kék szakasz pontosan 2 kék mezőnek éle, a kék szakaszok száma legalább 20.

Minthogy összesen 60 szakasz van, a piros és kék szakaszok számának összege 25. Ez pedig azt jelenti, hogy pontosan 5 piros és 20 kék szakasz keletkezik. Megjegyezzük, hogy ilyen módon színezett tábla valóban létezik.

Statisztika:

124 dolgozat érkezett.
4 pontot kapott:	86 versenyző.
3 pontot kapott:	7 versenyző.
2 pontot kapott:	13 versenyző.
1 pontot kapott:	6 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	2 dolgozat.

A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai