 |
A B. 4127. feladat (2008. november) |
B. 4127. Oldjuk meg az x5-x3y2-x3y-x2y3+y2=0 egyenletet az egész számok körében.
Javasolta: Somogyi Ákos
(4 pont)
A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.
Megoldás: Az x=0,y=0 számpár nyilván megoldása az egyenletnek. Az is világos, hogy ha x és y közül valamelyik 0, akkor a másik is 0. Tegyük fel, hogy a 0-tól különböző x,y egész számok az egyenlet megoldását adják. Ekkor y2=x2(-x3+xy2+xy+y3) miatt y2 osztható x2-tel, vagyis y=xt alkalmas 0-tól különböző t egész számmal. Ezt behelyettesítve x2-tel való leosztás után x3-x3t2-x2t-x3t3+t2=0 adódik.
Az előző lépéshez hasonlóan, t2-re rendezve látható, hogy t2 is osztható x2-tel, vagyis t=xs alkalmas 0-tól különböző s egész számmal. Behelyettesítés és x2-tel való leosztás után azt kapjuk, hogy x-x3s2-xs-x4s3+s2=0. Innen látszik, hogy x osztható s-sel, vagyis létezik olyan u
0 egész szám, hogy x=su. Ezt beírva, majd s-sel leosztva az u-s4u3-su-s6u4+s=0 egyenlőségre jutunk. Ez csak úgy teljesülhet, ha u osztható s-sel és s is osztható u-val. Ezek szerint u=s vagy u=-s. Az első esetben s-s7-s2-s10+s=0, vagyis s9+s6+s-2=0, a másik esetben pedig hasonlóképpen s8-s5-1=0 adódik. Az s egész szám a második esetben osztója az 1-nek, az első esetben a 2-nek. Könnyű ellenőrizni azonban, hogy az s=
1,2 számok egyikére sem teljesülnek ezek az összefüggések. Az egyenlet egyetlen megoldása tehát x=y=0.
Statisztika:
49 dolgozat érkezett. 4 pontot kapott: Aujeszky Tamás, Bálint Dániel, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Éles András, Frankl Nóra, Horowitz Gábor, Kispéter Tamás, Korányi Gergő, Lelkes Ádám, Nagy 648 Donát, Perjési Gábor, Varga 171 László, Weisz Ágoston, Zelena Réka, Zsakó András. 3 pontot kapott: Kiss 902 Melinda Flóra, Kunos Vid, Márki Róbert, Réti Dávid, Tóth 419 Péter, Vörös Tamás. 2 pontot kapott: 4 versenyző. 1 pontot kapott: 10 versenyző. 0 pontot kapott: 12 versenyző. Nem versenyszerű: 1 dolgozat.
A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai