A B. 4131. feladat (2008. november)

B. 4131. Egy 3×3×3-as kockarács egyik sarokkockájába egy egeret teszünk, a középsőbe pedig egy darab sajtot. Az egér bolyong a sajtot keresve: minden lépésben véletlenszerűen lép át valamelyik szomszédos kockába. Várhatóan hány lépésben találja meg a sajtot?

(5 pont)

A beküldési határidő 2008. december 15-én LEJÁRT.

Megoldás: A rács négyféle típusú kockából áll: 8 db sarokkockából (s típus), 12 db olyanból, amelyik él közepén helyezkedik el, (e típus), 6 db olyanból, amelyik lap közepén helyezkedik el, (l típus), és végül a középső kockából (k típus). Ha az egér a k típusú kockába ér, akkor megtalálja a sajtot, és nem bolyong már tovább, tehát további lépésekre nem kerül sor.

Egy adott x típus esetén jelölje P_n(x) annak a valószínűségét, hogy az n-edik lépésre ténylegesen sor kerül, és ezen lépés megtétele után az egér x típusú kockába kerül. Mivel az egér s típusú kockából 1 valószínűséggel e típusúba kerül, e típusúból 1/2 valószínűséggel s típusúba és ugyanekkora valószínűséggel l típusúba, l típusúból pedig 1/5 valószínűséggel k típusúba, 4/5 valószínűséggel pedig e típusúba, érvényesek az alábbi összefüggések:

$P_{n+1}(s)=P_{n+1}(l)=\frac{1}{2}P_n(e),\quad P_{n+1}(e)=P_n(s)+\frac{4}{5}P_n(l), \quad P_{n+1}(k)=\frac{1}{5}P_n(l).$

Ezért

$P_{n+2}(k)=\frac{1}{5}P_{n+1}(l)=\frac{1}{10}P_n(e)\quad \hbox{\rm és}\quad P_{n+2}(e)=P_{n+1}(s)+\frac{4}{5}P_{n+1}(l)=\frac{9}{10}P_n(e).$

Nyilván P₁(e)=1 és P₂(e)=P₁(k)=P₂(k)=0. Ezért P_n(e)=0, ha n páros, n=2m+1 esetén pedig P_n(e)=(9/10)^m, P_n(k) értéke pedig 1-nél nagyobb páratlan n számok esetén lesz csak 0-tól különböző: P_2m+3(k)=(1/10)P_2m+1(e)=(1/10)(9/10)^m. Az egér tehát várhatóan

$\sum_{n=1}^\infty nP_n(k)=\sum_{m=0}^\infty(2m+3)\cdot\frac{1}{10}\cdot \Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^m= \frac{3}{10}\sum_{m=0}^\infty\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^m+ \frac{2}{10}\sum_{m=0}^\infty m\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^m=$

$=3+\frac{2}{10}\sum_{n=1}^\infty\sum_{m=n}^\infty\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^m= 3+\frac{2}{10}\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^n \sum_{m=0}^\infty\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^m= 3+2\sum_{n=1}^\infty\Bigl(\frac{9}{10}\Bigr)^n=21$

lépésben találja meg a sajtot.

Statisztika:

65 dolgozat érkezett.

5 pontot kapott: Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bóra Eszter, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Dudás 002 Zsolt, Egyed Zsombor, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gévay Gábor, Horowitz Gábor, Horváth Dániel, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kovács 999 Noémi, Kunos Vid, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Nagy 127 Márton, Nagy 648 Donát, Nagy Róbert, Nagy-Baló András, Paripás Viktor, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szenczi Zoltán, Szívós Eszter, Török 999 Csaba, Varga 171 László, Wang Daqian, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.

4 pontot kapott: Aujeszky Tamás, Fekete Dorottya, Gudenus Balázs, Neukirchner Elisabeth, Nguyen Milán, Réti Dávid.

3 pontot kapott: 3 versenyző.

1 pontot kapott: 2 versenyző.

0 pontot kapott: 10 versenyző.

Nem versenyszerű: 3 dolgozat.

A KöMaL 2008. novemberi matematika feladatai

65 dolgozat érkezett.
5 pontot kapott:	Ágoston Tamás, Bálint Dániel, Beke Lilla, Blázsik Zoltán, Bodor Bertalan, Bóra Eszter, Cséke Balázs, Csere Kálmán, Deák Zsolt, Dudás 002 Zsolt, Egyed Zsombor, Éles András, Énekes Péter, Fonyó Dávid, Frankl Nóra, Gévay Gábor, Horowitz Gábor, Horváth Dániel, Huszár Kristóf, Keresztfalvi Tibor, Kovács 999 Noémi, Kunos Vid, Lovas Lia Izabella, Márkus Bence, Mester Márton, Mészáros András, Nagy 127 Márton, Nagy 648 Donát, Nagy Róbert, Nagy-Baló András, Paripás Viktor, Perjési Gábor, Somogyi Ákos, Strenner Péter, Szenczi Zoltán, Szívós Eszter, Török 999 Csaba, Varga 171 László, Wang Daqian, Weisz Ágoston, Weisz Gellért.
4 pontot kapott:	Aujeszky Tamás, Fekete Dorottya, Gudenus Balázs, Neukirchner Elisabeth, Nguyen Milán, Réti Dávid.
3 pontot kapott:	3 versenyző.
1 pontot kapott:	2 versenyző.
0 pontot kapott:	10 versenyző.
Nem versenyszerű:	3 dolgozat.

Már regisztráltál?
Új vendég vagy?